257702305 Aporte 3 Planteamiento Del Problema

Plantear con el grupo colaborativo otro problema que pueda ser desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método desolución y solución de la situación.
Problema
Un tanque está lleno de 100 litros de agua en los que se ha disuelto 20 kilogramos de sal. Otra mezcla que contiene 1 kilogramo de sal por litroes bombeada al tanque a razón de 7 litros por minuto. La solución mezclada es bombeada hacia el exterior a razón de 8 litros por minuto. Determinar la función que da la cantidad de salen cada instante. ¿Se vaciará totalmente el tanque?

Solución del problema
Datos conocidos.
A= 20 kg a = 1 kg/L
V0 = 100 L V1 = 7 L/minV2 = 8L/min
La ecuación diferencial que modeliza la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante viene dada por:

Esto es,
La ecuación anterior admite comofactor integrante

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el factor integrante.

Es decir:
Integrando la expresión anterior

De modo que la solución general de laecuación diferencial es

Para hallar C tenemos en cuenta que la concentración inicial es A=15:

En conclusión, la cantidad de sal presente es eltanque en cada instante es

Para averiguar si el tanque se vaciara totalmente, determinaremos el tiempo en que la concentración se anulaLa ecuación anterior admite dos soluciones:


La concentración es cero para t=100 min, que es cuando se vaciara el tanque.Aunque este se vacíe siempre seguirá agua salada, de manera que a partir del instante t=100 min la concentración de sal en cada instante será de la mezcla entrante, a saber, 1kg/L.