2a ELEMENTOS MAT DE LA PL 1 Teoria

MATRICES Y SUS OPERACIONES
Definición: Una matriz m x n (m≥1, n≥1), es un ordenamiento rectangular de número
en m filas y n columnas.
a12
... a1n
a11
a21
a22
... a2n
.
.
.
, ai j ∈ R
.
.
.
.
.
.
am1
...
... amn
NOTACIÓN:
A = [aij ]
Matriz A

B = [bij ]

C = [cij ]

Componente

OBSERVACIÓN 1:
i) La palabra ordenamiento significa que la ubicación de los componentes aij es única.
a11
a12
a11
a12a13
a21
a22 2x2
a21
a22
a23 2x3
ii)El conjunto total de los matrices m x n se denotará con Rmxn
OBSERVACION 2:
i)
MATRIZ FILA:
Vector Fila:
MATRIZ COLUMNA:
Vector Columna

1xm ó R lxm
[ a11 a12
a13

…..a1m

]

mxl ó Rmxl
a11
a21
am1

IGUALDAD DE MATRICES
A=B Ù
aij = bij ∀ ij
SUMA DE MATRICES Y PRODUCTO POR UN ESCALAR
En Rmxn esta definida una suma y un producto
SUMA : [aij ] + [bij ] =

[aij

+ bij]

Propiedades:
1)
A+B = B+A
2)
A + (B + C) = (A + B) + C
3)
∃ una matriz 0 ∈ R mxn / A + 0 = A, ∀ A, matriz cero cuyas componentes son
todas cero.

4)

A cada matriz A = [aij ] esta asociada la matriz -A = [ -aij ], llamada el opuesto
de A la misma que que satisface A + (-A) = 0
DIFERENCIA
En base a la propiedad 4.
A – B = A + (- B) ∀ A, B ∈ R mxn
EL PRODUCTO DE UN NUMERO (ESCALAR) λ : por unamatriz satisface las
siguientes propiedades
5)
λ(A + B) = λA + λB , λA , B ∈ R mxn
6)
(α + β) A = αA + βA , α, β ∈ R
7)
α ( β A) = (α β)A
8)
– A = (- 1) A
PRODUCTO DE MATRICES
A = [aij ] ∈ R mxn
B = [bij ] ∈ R nxr
AB = [aij ]mxn [bij ] nxr = [cij ]mxr
n

Donde: cij = ∑ aik bkj ; i = 1, 2,3,..., m

j = 1, 2, 3,...., r

k =1

Observación: A . B esta definido solo cuando el número de columnas de A esigual al número de filas de B
PROPIEDADES:
i)
A B ≠ BA
ii)
(AB) C = A(BC)
iii)
A . (B + C) = AB + AC
iv)
(B+C) A = BA + CA
v)
K(AB) = A(KB), K es un escalar
NOTA: El producto de matrices fue inspirada por la sustitución de variables en
un sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicios:
Escribir explícitamente las siguientes matrices:
1) A =  aij  3 x 2 , donde aij = i + 3 j
2) A =  aij  3 3 ,donde aij = 2i + 3 j
x
3) A =  aij  3 x 4 , donde aij = max {i , j}
TIPOS DE MATRICES
1.- MATRICES CUADRADAS
El conjunto de matrices cuadradas nxn es un conjunto de gran importancia.
En esta familia el producto de matrices se realiza sin restricciones es decir
∀ A, B ∈ Rnxn existen AB y BA, en particular puede definirse todas la
potencias de una matriz, A, A2 , A3 ,..., AK , ∀ A, ∈ R nxn.
Enuna matriz cuadrada su traza es T ( A) =

n

∑a

i = j =1

ij

= a11 + a22 + ... + ann

2,- MATRIZ NULA
0

0

0=
0
0
3.- MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR :
Una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0 para i > j se llama matriz triangular
superior.

A=

a11
0
0
.
.
0

a12
a22
.
.
.
0

a13

... a1n
.

a33

.
.

0

... ann

4.- MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0 para i triangular inferior.

A=

a11

0

a21
.
.
an1

a22
.
.
an2.

0
a33

... 0
... 0
0
.
... ann

5.-MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada cuyos elementos son,
aij = 0, i ≠ j .

A=

a11
0
.
.
.
0

0
a22
.
.
.
0

0

... 0
... 0

a33
.
.
... ann

=Diag (a11, a22, . . . , ann)
7.- MATRIZ ESCALAR.
Es una matriz diagonal en la que se verifica:a11 = a22 = a33 = . . . , ann = K
k
0 0 0

0k 0 0


0 0 O 0


0 0 0 k 
8.- MATRIZ UNITARIA.

Es una matriz diagonal en la que se verifica: a11 = a22 = a33 = ... = ann = 1
9.- MATRIZ TRANSPUESTA
La matriz transpuesta de una matriz A, al que denotaremos por At, es una matriz que se
obtiene al intercambiar las filas por las columnas de la matriz A.
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
1)

It = I

4)(A + B)t = At + Bt

2) (At)t = A3) (KA)t = KAt , K es un escalar

5) (AB)t = Bt At

10.- Matriz simétrica:

A, ∈ R nxn se llama simétrica Ù si At = A

11.- Matriz antisimetrica:

A, ∈ R nxn se llama antisimétrica Ù si At = - A

12.-Matriz idempotente:

A , ∈ R nxn es idempotente Ù A2 = A

13.-Matriz involutiva:

A , ∈ R nxn Es involutiva Ù A2 = I (identidad)

14.-Potencia de una matriz: Sea una matriz cuadrada de orden nxn...

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