2BAMACCSS2_SO_ESB01_U03

Solucionario

3

Sistemas de ecuaciones lineales

ACTIVIDADES INICIALES
3.I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
2 x + y = 5
a) 
 4 x − 2 y = −2

2x + y = 0
b) 
− 6 x − 3y = 0

2x + y = 5
c) 
4 x + 2y = 7

2 x + y = 0
d) 
5 x − 3 y = 0

a) x = 1, y = 3

b) x = λ, y = −2λ, λ ∈ R

c) Sistema incompatible

d) x = 0, y = 0

3.II. En cada caso, escribe un sistema de ecuacionescuya solución sea la señalada.
a) x = 3, y = −2

x = 1+ λ
b) 
 y = −2 − λ

c) x = −4 , y = 5

 x = 4 − 3λ
d) 
 y = −1

x +y =1
a) 
x − y = 5

 x + y = −1
b) 
2 x + 2y = −2

x + y = 1
c) 
 x + 2y = 6

 x = 4 − 3λ
d) 
 y = −1, λ ∈ R

EJERCICIOS PROPUESTOS
3.1. Escribe en forma matricial los sistemas (indica también la expresión de las matrices ampliadas).
2 x + 2 y = 4
a) 
 x −5y = 3

 x1 − 2 x 2 + x 3 − x 4 = 3

c) 2 x 1 − x 2 − x 3 = 2
− x − x = 5
 1
4

2 x + y − 2 z = 4

b)  x − y = 0
3 x + 3 z = 5


2
2  x   4
2
2
*
a) 
  y  =  3  ; A =  1 −5
−
1
5


   

4
3 

1 −2
1 −2   x   4 
2
2
b)  1 −1 0   y  =  0  ; A* =  1 −1 0



3
3   z   5 
3 0
3 0

4
0

5 

x 
1 −1 3 
1 −1  1   3 
 1 −2
1 −2
x
 


c) 2 −1 −1 0  2  =  2  ; A* =  2 −1 −1 0 2 

 x 


−1 0 0 −1 5 
0
0 −1  3   5 
 −1

 x4 
0 
 1 −1
 1 −1 0 
x  
d)  2 −3    =  4  ; A* =  2 −3 4 

 y


1    1 
1 1
1
1

2
3.2. Escribe de forma desarrollada el sistema: 
2

x
−3 3     −1
y =
−1 0     2 
z
 

2 x − 3 y + 3z = −1

2 x − y = 2

58Solucionario

x − y = 0

d) 2 x − 3 y = 4
x + y = 1


3.3. Mediante el cálculo de la matriz inversa, resuelve los sistemas:
x − y + z = 0

b) 2 x + y + z = 2
 x − 2 y − 2 z = −4


2 x − 3 y = −6
a) 
4 x + 3y = 6
2
a) A = 
4

−3 
1
1 3
 A −1 =
[ Adj( A)]t =  3
3 
A
18 
 X = A−1B =

1  3
18  −4

1
 0
 1 −1
1 
−4
b) A =  2
1
1  A −1 =


−10 
 −2
 1 −2 −2 
X = A −1B =

t

1  3
−4 
=
2  18  −4

3

2 

3   −6   0 
=
 x = 0, y = 2
2   6   2 
t

5 −5 
 0
1 
−3
1 =
−5
 10 
1 3 
 5

 0
1 
−5
10 
 5

4
2
3 −1 

−1 −3 

4
2  0 0
3 −1  2  =  1   x = 0, y = 1, z = 1
   
−1 −3   −4   1 

4 x + 2y − z = 6

3.4. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2 x + 2 y + 3z = −4 , escribesistemas equivalentes a él aplicando
3 x + 6 z = − 9


sucesivamente las siguientes transformaciones:
i) E3 →

1
E3
3

ii) E1 ↔ E 3

iii) E 2 → E 2 − 2E1

iv) E 3 → E 3 − 4E1

v) E 3 → E 3 − E 2

x + 2z = −3
x + 2z = −3
 4 x + 2y − z = 6
 4 x + 2y − z = 6






2
x
+
2
y
+
3
z
=
−
4
→
2
x
+
2
y
+
3
z
=
−
4
→
2
x
+
2
y
+
3
z
=
−
4
→
2
y −z = 2




1
E1 ⇔E3
E2 =E2 − 2E1
E3 = E3 



3x +6z = −9 3 
x + 2z = −3

 4x + 2y − z = 6
4 x + 2 y − z = 6

 x + 2z = −3
 x + 2z = −3


→
→ 2 y − z = 2
 2y − z = 2
E3 = E3 − 4 E1
E3 = E3 − E2
2y − 9z = 18
 −8z = 16



3.5. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, escribe la matriz de los coeficientes e
indica si son o no escalonados.
 x + 2y + z = 4

a)  y + 3z = 4
z = 3


x + y = 1

c)  y + z = 1x + z = 1


z = 3

b) 2 x + 2 y − z = 4
3 y − z = 4


x + y + z = 3
y + z = 2

d) 
z = 1
 y + 2z = 3

 1 2 1
a) A =  0 1 3  Sí es escalonado.


 0 0 1

 1 1 0
c) A =  0 1 1  No es escalonado.


 1 0 1

2
b) Cambiando ecuaciones, A =  0

0

2
3
0

−1
−1 Sí es escalonado.

1

Solucionario

59

 1 1 1
 0 1 1
d) A = 
 No es escalonado.
 0 0 1
0
1
2

Solucionario
3.6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss:

3 x + 7 y = 14
a) 
− 7 x + 3y = 6

 x + y − 2z = 1

c)  − 2 x + y + z = 7
 x − z = −2


2 x + y − z = 5

e) 3 x − y − z = 2
 x − 2y = 3


x + y − z = 1
2 x + y − 2 z = 1

g) 
3 x + 2 y − 3 z = 2
 x − z = 0

1

5x − y =

2
b) 
3 x + 4 y = − 17

2

2 x + y + z = 8

d)  x...