2BAMACCSS2_SO_ESB01_U04

Solucionario

4

Programación lineal
ACTIVIDADES INICIALES

4.I. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado.
a) 3x + 3(2x – 5) – 4(x – 2) ≤ 2 – x
b)

x x −1
2x − 5
−
> 1−
2
6
2

a) 3x + 6x – 15 – 4x + 8 ≤ 2 – x
3x + 6x – 4x + x ≤ 2 + 15 – 8
6x ≤ 9, x ≤
b)

3
3

 Solución:  − ∞, 
2
2


x x −1
2x − 5
−
> 1−
2
6
2
3 x x − 1 6 6 x − 15
−
> −
6
6
6
6

3x – x + 1 > 6 – 6x + 15
3x – x +6x > 6 + 15 – 1
8x > 20 x >

5
5

 Solución:  ,+∞ 
2
2


4.II. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado.
a)

x −3 x −2 x
−
≤
2
8
2

b) 2 x − 3 −

a)

x
3x + 1
> x+
2
6

x −3 x −2 x
−
≤
2
8
2
4 x − 12 x − 2 4 x
−
≤
8
8
8
4x – 12 – x + 2 ≤ 4x
–x ≤ 12 – 2

x ≥ –10  Solución: [−10,+∞ )
b) 2 x − 3 −

x
3x + 1
>x+
2
6

12 x 18 3 x 6 x 3 x + 1
−
−
>
+
6
6
6
6
6

12x – 18 – 3x > 6x +3x + 1
12x – 3x – 6x – 3x > 1 + 18
0 > 19  No tiene solución.

96

Solucionario

ACTIVIDADES PROPUESTAS
4.1. Representa los semiplanos determinados por las siguientes expresiones.
a) y ≤ −4

c) 2x − 4y < 6

e)

x y
+ <1
2 3

b) 3x ≥ 6

d) 2(3x – 5) + (4y − 2) < 2

f)

2 x 3y
−
≥ −6
3
2

a)

c)

Y
O

1

e)

Y

Y

X
1

y = –4

x +y =1
2 3

1

O

X

1

O

X

1

2x – 4y = 6

Semiplano sin borde.Puntos del borde del
semiplano:

Semiplano con borde.
El borde es una recta
horizontal.

(3, 0) y (0, −

Semiplano sin borde.
Puntos del borde del
semiplano:
(2, 0) y (0, 3)

3
)
2

f)

d)

b)

Y

Y

Y
2x 3y
+ = –6
2
2

3x = 6
1

1

O

X

1

O

1

1

X

O 1

X

2(3x – 5) + (4y – 2) = 2

Semiplano con borde.
El borde es una recta
vertical.

Semiplano con borde.
Puntos del borde del
semiplano:
(0, 4) y(−9, 0)

Semiplano sin borde.
Puntos del borde del
semiplano:
(–1, 5) y (1, 2)

4.2. Comprueba si los puntos siguientes están o no a un mismo lado de la recta: 3x + 5y – 4 = 0.
a) A(−3,0) y B(4,2)

b) A(2, −3) y B(1, −2)

a) 3 · (−3) + 5 · 0 – 4 = −13 < 0 3 · 4 + 5 · 2 – 4 = 18 > 0  A y B están a diferente lado de r.
b) 3 · 2 + 5 · (−3) – 4 = −13 < 0 3 · 1 + 5 · (−2) – 4 = −11 < 0  A y B estána un mismo lado de r.

4.3. Establece las expresiones algebraicas que determinan cada uno de los siguientes semiplanos.
a)

b)

Y

1

1
O

Y

1

O

X

a) x > y

b) x + y > 5

Solucionario

97

1

X

Solucionario
4.4. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa la solución, calcula las
coordenadas de sus vértices e indica si es o no acotada.

y ≤ 2

a)  x ≥ −4 x − 2y ≤ 3


 x + 3 y ≤ 15

 4 x + y ≤ 16
c)  x − y ≤ 2
x ≥ 0

 y ≥ 0

 x − y ≥ −2

b)  y ≤ 5
x ≥ 0 y ≥ 0


y ≤ 0

d)  x − y ≥ −3
x ≤ 3


a) Solución acotada.
y = 2
A: 
 A(–4, 2)
 x = −4

A

Y
x = –4

y=2
B

1
O 1
x – 2y = 3

 x − 2y = 3
 B(7, 2)
B: 
y = 2
7
 x − 2y = 3
C:
 C(– 4, − )
2
 x = −4

X

C

b) Solución no acotada.
Y

 x − y = −2
A: 
 A(0, 2)
x = 0y=5

B

y = 5
 B(3, 5)
B: 
 x − y = −2

A

x – y = –2

1

O(0, 0)
c) Solución acotada.

O

x = 0
 A(0, 5)
A: 
 x + 3 y = 15

Y

x + 3y = 15

A

 4 x + y = 16
B: 
 B(3, 4)
 x + 3 y = 15

X

1

B
C

x − y = 2
18 8
C:
 C(
, )
+
=
4
x
y
16
5 5


1
O

y = 0
 D(2, 0), O(0, 0)
D: 
x − y = 2

x–y=2
4x + y = 16

1 D

X
Y

d) Solución no acotada.
y = 0
 A(–3, 0)
A: 
 x − y = −3

A

1O

y = 0
B: 
 B(3, 0)
x = 3

B
X

1

x – y = –3
x=3

4.5. Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal.
2 x − 3 y ≤ 0

Max y Min z = 3x + 8y sujeto a:  x + y ≤ 5
y ≤ 4 x ≥ 0


Y
A

x + y = 5
2 x − 3 y = 0
 B(1, 4), A(0, 4), O(0, 0)
 C(3, 2), B: 
Vértices: C: 
y = 4
x + y = 5
Valor de la función objetivo en los vértices:
zA = 32; zB = 35; zC = 25; zO = 0El máximo se obtiene en x = 1, y = 4, y vale 35, y el mínimo, en x = 0, y = 0, y vale 0.

98

Solucionario

B

2x – 3y = 0
y=4
C

1
O

1
x+y=5

X

4.6. Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal.
Max y Min z = 10x + 7,5y sujeto a:
x + y ≥ 4

 4 x + 3 y ≤ 24
x ≥ 3 y ≥ 0


x=3

Y

Vértices:

A

4 x + 3 y = 24
 4 x + 3 y = 24
A: 
 A ( 3, 4 ) B: 
 B ( 6, 0...