2BAMACCSS2_SO_ESB02_U06

Solucionario

6

Derivadas
ACTIVIDADES INICIALES

6.I. Escribe la ecuación de las siguientes rectas:
a) Horizontal y que pase por el punto A(1, 4).
b) Decreciente y que pase por el punto A(2, –3).
c) Creciente y que pase por el origen.
d) Que pase por los puntos A(2, 4) y B(–3, –8).
e) Paralela a y = –2x + 1 y que corte al eje X en el punto A(1, 0).
f) Paralela a la bisectriz del primer cuadrantey que pase por el punto A(1, 6).

12
4
x −2
y −4
=
y=
x−
−3−2 −8−4
5
5

a) y = 4

d)

b) y = –x – 1

e) y = –2x + 2

c) y = 3x

f) y = x + 5

6.II. Dada la expresión A =

x 2y 3
, calcula lnA y expresa el resultado mediante sumas y restas de
z

logaritmos.

ln A = ln

x 2y 3
1
1
1
3
= ln x 2 y 3 − ln z = ln( x 2 y 3 ) − ln z = ln x 2 + ln y 3 − ln z = ln x + ln y − ln z
z
2
2
2
2

6.III.Transforma las siguientes expresiones en un solo logaritmo:
3 ln a ln b
a) 2log 5 – 5log a + 2log b – log c
b)
+
− ln c
2
2

a) 2log 5 – 5log a + 2log b – log c = log 52 − log a5 + log b2 − log c = log 52 + log b2 − (log a5 + log c ) =
= log(52 ⋅ b2 ) − log(a5 ⋅ c ) = log
3

b)

52 ⋅ b 2
a5 ⋅ c

1

3 ln a ln b
a3b
+
− ln c = ln a 2 + ln b 2 − ln c = ln
2
2
c

EJERCICIOS PROPUESTOS
6.1. La distanciarecorrida por un autobús en los cinco primeros segundos desde que sale de una parada
viene dada por la función f(t) = t2.
¿Qué velocidad llevará en el instante t = 3 segundos?

La velocidad en el instante t = 3 es la tasa de variación instantánea en t = 3:
v (3) = TVI f (3) = lim

h →0

f (3 + h ) − f (3)
(3 + h )2 − 32
h(6 + h )
= lim
= lim
= 6 m/s
h →0
h →0
h
h
h

t
(20 − 2t )
8
con 0 ≤ t ≤ 10,estando t medido en horas. Calcula la tasa de variación instantánea de n (t) para t = 5
horas.
5+h
50
−2h 2
(20 − 2(5 + h )) −
n(5 + h ) − n(5)
8 = lim 8 = lim −h = 0
TVI n(5) = lim
= lim 8
h →0
h →0
h →0
h →0 4
h
h
h

6.2. La emisión diaria de gases, en toneladas, en una fábrica viene dada por la expresión n (t) =

36

Solucionario

6.3. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)= x2 – 3x en el punto de abscisa x = 5.

La pendiente de la recta tangente es f ′(5).
f (5 + h) − f (5)
(5 + h)2 − 3(5 + h) − 10
25 + 10h + h2 − 15 − 3h − 10
h(h + 7)
= lim
= lim
= lim
= lim(h + 7) = 7
h
→
h
→
h →0
h →0
0
0
h
h
h
h

f ′(5) = lim

h →0

La recta pasa por el punto de tangencia A(5, f(5)) = A(5, 10). La ecuación de la recta tangente es:
y – 10 = 7(x – 5), es decir, y = 7x – 25.
6.4.Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) = (3 x − 2)2 , que es paralela a la recta de
ecuación y = 6x – 5.

La pendiente de la recta tangente es 6 porque es paralela a y = 6x – 5. Calculemos el punto de tangencia
A(a, f(a)). El punto de tangencia debe cumplir que f ′(a) =6; por tanto:
f (a + h ) − f (a )
(3(a + h ) − 2)2 − (3a − 2)2
9a 2 + 9h 2 − 18ah + 4 − 12a − 12h −9a 2 − 4 + 12a
= lim
= lim
=
h →0
h →0
h →0
h
h
h
h(9h + 18a − 12)
= lim
= 18a − 12
h →0
h

f ′(a ) = lim

Como 18a – 12 = 6, a = 1. El punto de tangencia es A(1, f(1)) = A(1, 1).
La recta tangente es y – 1 = 6(x – 1), es decir, y = 6x – 5.

6.5. Halla la función derivada de:
c) f ( x ) =

a) La función constante: f(x) = c

x
1
d) f ( x ) =
x

b) La función identidad: f(x) = x
a) f ′( x ) = lim

f( x + h) − f ( x )
c −c
= lim
=0
h →0 h
h

b) f ′( x ) = lim

f ( x + h) − f ( x )
x+h−x
h
= lim
= lim = 1
h →0
h →0 h
h
h

h →0

h →0

c) f ′( x ) = lim

h →0

= lim

h →0

f ( x + h) − f ( x )
= lim
h →0
h

h
h( x + h +

x)

x+h −
h

x

= lim

1

= lim

x+h +

h →0

( x + h − x )( x + h +
h( x + h +

h →0

x

=

x)

x)

=

1
2 x

−h
1
1
−
f ( x + h) − f ( x )
−h
−1
−1
( x + h )x
x
+
h
x
= lim
=lim
= lim
= lim
= 2
d) f ′( x ) = lim
h →0
h →0
h →0
h → 0 ( x + h ) xh
h →0 ( x + h ) x
h
h
h
x

6.6. Deriva las siguientes funciones:
a ) f (x) =

 x +1 
c) f (x) =  4

 x + 1

1
2
x +1

 x 
d) f (x) = (x + 2) 

 x + 1

b ) f (x) = (x3 – x)7
a) f ′( x ) =

0· ( x + 1) − 1·2 x

( x + 1)

2

5

=

4

−2 x
( x 2 + 1)2

b) f ′( x ) = 7( x 3 − x )6 (3 x 2 − 1)
 x +1 
c) f ′( x ) = 5...