2BAMACCSS2_SO_ESB03_U13

Solucionario

13

El muestreo estadístico

ACTIVIDADES INICIALES

13.I. Las notas obtenidas en matemáticas por 12 estudiantes de 2.º de Bachillerato son:
9, 5, 3, 9, 0, 10, 2, 1, 8, 9, 7, 6
a) Calcula la media.
b) Halla la varianza y la desviación típica.
c) Calcula la cuasivarianza.
a) x =

b) σ2 =

0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9·3 + 10
= 5,75
12

(0 − 5,75)2 + (1− 5,75)2 + (2 − 5,75)2 + (3 −5,75)2 + (5 − 5,75)2 + (6 − 5,75)2 + (7 − 5,75)2 + (8 − 5,75)2 + (9 − 5,75)2·3 + (10 − 5,75)2
12

σ2 = 11,19

σ = 11,19 = 3,34
c) sˆ 2 =

N
12
s2 =
11,19 = 12,20
N −1
12 − 1

13.II. Lanza un dado 20 veces y anota los resultados de la cara superior.
a) Calcula la media y la varianza de los resultados obtenidos.
b) Halla la cuasivarianza.

La solución depende de lo que haya salido en los 20lanzamientos a cada alumno.
13.III. Repite la actividad anterior, pero realizando 50 lanzamientos.

Ocurre lo mismo que en la actividad anterior.

EJERCICIOS PROPUESTOS
13.1. El consorcio de transporte de una comunidad quiere saber la opinión que tienen los ciudadanos sobre el
servicio de cercanías. Para ello, unos encuestadores realizan una serie de entrevistas a los viajeros que
acceden a este servicioen tres estaciones de la red.
a) ¿Cuál es la población?
b) ¿Cuál es la muestra?

a) Todos los ciudadanos que utilizan el servicio de cercanías.
b) Los viajeros de las tres estaciones de la red que son encuestados.

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Solucionario

13.2.En los años treinta, en Estados Unidos se hizo una encuesta telefónica para pronosticar el ganador de las
siguientes elecciones presidenciales. El pronósticofue que ganaría el candidato republicano, pero en
realidad ganó el candidato demócrata.
¿Crees que la muestra elegida fue representativa? ¿Por qué?
La muestra seleccionada no fue representativa porque no todos los individuos de la población tenían la misma
probabilidad de ser elegidos: algunos no tenían teléfono, en algunas ciudades había más teléfonos que en
otras…
Esto conlleva una muestra que noestaba formada por los distintos individuos que componían la población de
Estados Unidos, de modo que no es raro que el pronóstico no fuera acertado.
13.3. El 5% de los pasteles que hace un pastelero tienen un exceso de peso. Se toma una muestra de 45
pasteles:
a) ¿Cuál es la distribución que sigue la proporción de pasteles con exceso de peso de la muestra?
b) Halla la probabilidad de que en lamuestra existan al menos cuatro pasteles con exceso de peso.
a) Como n = 45 y p = 0,05, se puede considerar n suficientemente grande y p próximo a cero, por lo que se


0,05 (1 − 0,05 ) 
p(1 − p ) 
 = N ( 0,05, 0,0325 ) .
= N  0,05,
aproxima por una distribución normal N  p,





n
45




b) Como se pasa de una distribución discreta a una continua P [ X ≥ 4] ≈ P [ X ′ > 3,5] , por lotanto:

0,078 − 0,05 
3,5

= P ( Z ≥ 0,86 ) = 1 − P ( Z < 0,86 ) = 1 − 0,8051 = 0,195 .
⋅ 100 = 7,78%  P( Pˆ ≥ 0,078) = P  Z ≥
45
0,0325 

Que es una aproximación mucho mejor a la que se obtiene a partir de la distribución binomial B(45, 0,05), en
donde P [ X ≥ 4] = 1 − [P (0) + P (1) + P (2) + P (3)] = 1 − 0,09944 − 0,23552 − 0,2727 − 0,20572 = 0,18662 .
13.4. En la elección para formarparte del consejo escolar, un alumno ha recibido un 50% de votos
desfavorables, si se elige una muestra de 40 alumnos que han votado.
a) ¿Cuál es la distribución que sigue la proporción de votantes que le han votado?
b) Halla la probabilidad de que más del 40% de la muestra le votasen.
0,5 (1 − 0,5 )
= 0,079  N(0,5; 0,079)
40
0, 4 − 0,5 

= P ( Z > −1,27 ) = P ( Z < 1,27 ) = 0,8980
b) P( Pˆ >0,4) = P  Z >
0,079 


a) σ =

13.5. La emisión de óxido de nitrógeno de los vehículos de cierta marca sigue una distribución normal con
media μ = 1,2 y desviación típica σ = 0,4. Se escoge al azar una muestra de 25 vehículos.
a) ¿Cuál es la distribución en el muestreo de la media?
b) Halla la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor de 1,2.
0,4
a) σ =
= 0,08  N(1,2; 0,08)
25

b)...