2funciones problemas resueltos

Cap´ıtulo 2
Funciones Reales
2.1.

Generalidades

Suponemos que el lector trae consigo la noci´on de funci´on general, es decir, haciendo
un resumen:
Sean A y B conjuntos cualquiera, entonces f : A → B, es una correspondencia en
virtud de la cual a cada elemento de A viene asociado un elemento de B y s´olo uno.
Si x ∈ A, el elemento de B asociado con x se representa por f (x), (y(x), F (x), G(x),. . .)
y recibe el nombre de imagen de x seg´
un la funci´on f .
El conjunto A se llama dominio de la funci´on
dom f = {x ∈ A | ∃ y ∈ B : (x, y) ∈ f }
Aquellos elementos de B que son im´agenes de al menos un elemento de A, constituyen el recorrido de la funci´on
rec f = {y ∈ B | ∃ x ∈ A : (x, y) ∈ f }
El recorrido puede o no ser B completo; en caso de que lo sea se dice que f es sobre.
(rec f =B).
La funci´on ser´a uno a uno si todo elemento del recorrido es la imagen de un solo
elemento de A.
Si f es uno a uno y sobre, se define una nueva funci´on f −1 , llamada inversa de f ,
como la funci´on de B a A que tiene la siguiente propiedad: La imagen f −1 (y) de
un elemento arbitrario y de B es el elemento un´ıvocamente determinado en A cuya
imagen bajo f es y, luego por definici´on ∀ y ∈ B: f (f −1 (y)) = y, rec´ıprocamente
∀ x ∈ A : f −1 (f (x)) = x.
N´otese: dom f −1 = rec f

y

rec f −1 = dom f

En los siguientes p´arrafos consideraremos las funciones reales de una variable real
(funciones reales), es decir, f : A → B siendo A y B conjuntos de n´
umeros de reales.
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Luis Zegarra A.

Funciones Reales

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En la notaci´on funcional y = f (x), que es lo mismo que (x, y) = f , seconviene que x
recibe el nombre de variable independiente e y el de variable dependiente, dici´endose
que y es una funci´on de x.
El gr´
afico (o grafo) de la funci´on f en el sistema de coordenadas rectangulares XY
es,
Gf = {(x, y) | x ∈ A, y = f (x)}
Puede considerarse que el mismo conjunto de puntos forma el gr´afico de la funci´on
inversa (si ´esta existe) y, m´as a´
un, que ´esta vienerepresentada por la ecuaci´on
x = f −1 (y). Ahora si queremos reservar la letra x para la variable independiente
(a su vez la ”y”para la dependiente), la inversa de f vendr´a representada por la
ecuaci´on y = f −1 (x).
En tal supuesto, la gr´afica de f −1 resulta sim´etrica respecto a la recta y = x de la
gr´afica de f .
Dadas f y g dos funciones reales1 ; se define la suma, producto y cuociente como:(f ± g)(x) = f (x) ± g(x);

(f g)(x) = f (x)g(x)

con dom(f ± g) = dom f · g = dom f ∩ dom g, an´alogamente,( fg )(x) =
dom fg = dom f ∩ dom g, en que 0 ∈ rec g.

f (x)
,
g(x)

con

Finalmente, la funci´on compuesta de dos funciones g y f , en las que el recorrido de
g est´a inclu´ıdo en el dominio de f , se define como la funci´on cuyo dominio es el de g
y tal que la imagen de un elementoarbitrario en dicho dominio es f (g(x)), es decir:
(f og)(x) = f (g(x)).
Se dice que:
1. f y g son iguales si y s´olo si dom f = dom g y f (x) = g(x).
2. f es una restricci´
on de g si y s´olo si dom f ⊂ dom g y f (x) = g(x).

2.2.

Propiedades

Una funci´on f definida en un conjunto A es mon´
otona si no tiene oscilaciones, es
decir, si al crecer x los valores de f (x) siempre crecen o siempredecrecen.
f es no decreciente en A (respectivamente, creciente, no creciente, decreciente) si
∀ x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (respectivamente, f (x1 ) < f (x2 ), f (x1 ) ≥
f (x2 ), f (x1 ) > f (x2 )), notemos que las funciones que cumplen cualquiera de estas
cuatro propiedades son mon´otonas.
Se dice que una funci´on f est´a acotada superiormente (o inferiormente) en el conjunto A si existe unn´
umero M (´o m) tal que f (x) ≤ M , ∀ x ∈ A (´o m ≤ f (x), ∀ x ∈ A).
Se dice que f est´a acotada en A si est´a acotada superiormente o inferiormente.
1

En lo sucesivo, a menos que se indique lo contrario, las funciones que consideraremos ser´an
reales.

Luis Zegarra A.

Funciones Reales

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Se dice que una funci´on f es peri´
odica si existe un n´
umero T > 0 tal que f (x + T ) =
f (x) ∀ x...