2pautaguiaespaciosvectoriales Cathy

PONTIFICIA UNIVERSIDAD
CATÓLICA DE VALPARAÍSO
Algebra Lineal
Pauta de Corrección
Espacios Vectoriales
1.a) Falso
Ya que no cumple con la primera condición: el neutro aditivo de M 2 IR ∉ U
b)Verdadero.
I. el polinomio nulo pertenece a W
II. Por demostrar que para todo u, v ∈ W, entonces u + v ∈ W
Sean u = ax 2 + bx + c ∈ W ⇒ a + b + c = 0
y v = a´x 2 + b´x + c´ ∈ W ⇒ a´ + b´ + c´ = 0
u + v = ax2 + bx + c + a´x 2 + b´x + c´
= a + a´x 2 + b + b´x + c + c´
si x = 1, a + a´ + b + b´ + c + c´ = a + b + c + a´ + b´ + c´ = 0
Por lo tanto u + v ∈ W
III.Por demostrar que para todo u ∈ W y β ∈ IR, entonces βu ∈ W
Sea u = ax 2 + bx + c ∈ U ⇒ a + b + c = 0
y β ∈ IR
βu = βax 2 + bx + c = βax 2 + βbx + βc, si x=1, entonces,
βa + βb + βc= βa + b + c = β ⋅ 0 = 0
Por lo tanto βu ∈ W
De I, II yIII W ≤ IR 2 x
c)Verdadero
Primero, ver si el conjunto es l.i.
Sean β, γ, δ ∈ IR, tales que
0, 0, 0 = βa, 1, 1 + γ0, a, 3 + δ0, 0, a + 1
= βa, β + γa, β + 3γ + δa + δ
Luego, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
0 = βa
0 = β + γa
0 = β + 3γ + δa + δ

y obtenemos la matriz

a 0

0

1 a

0

, cuyo determinante es: a 2 a + 1

1 3 a+1
y necesitamos que a a + 1 ≠ 0 ∴ a ≠ 0 ∧ a ≠−1
Las mismas condiciones serán para ver si el conjunto es generador
2

d)Verdadero
S=

1 1

1 2

,

1 1
3 0
α, β, γ, δ ∈ IR tal que
1 1
1 2
α
+β
+γ
1 1
3 0

0 1

,

,

0 0
0 1

+δ

0 0

0

−3

−2

1

0

−3

−2

1

generará a M 2 IR si existen

=

x y
z w

de lo cual obtenemos el siguiente sistema
α+β = x
α + 2β + γ − 3δ = y
α + 3β − 2δ = z
α+δ = w
luego, la matriz asociada al sistema es
1 0 1 0
1 21 −3
1 3 0 −2

α

cuyo determinante es: 3

1 0 0 1
Por lo tanto, el sistema tiene única solución y existen α, β, γ, δ ∈ IR tal que
1 1
1 2
0 1
0 −3
x y
+β
+γ
+δ
=
1 1
3 0
0 0
−2 1
z w
Luego S =

1 1
1 1

,

1 2
3 0

,

0 1
0 0

e) Verdadero
Deben existir α, β, γ ∈ IR tal que
3x = αx − x 2  + β1 + x + γ2x 2 + 1
3x = αx − αx 2 + β + βx + 2γx 2 + γ
3x = −a + 2γx 2 + α + βx + β + γ
yobtenemos el siguiente sistema
−α + 2γ = 0
α+β = 3
β+γ = 0
Del que obtenemos que α = 6, β = −3, γ = 3
Por lo tanto 3x ∈ 〈x − x 2 , 1 + x, 2x 2 + 1〉

,

0

−3

−2

1

genera a M 2 IR

3) Sea px = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
p´x = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d
p´´x = 12ax 2 + 6bx + 2c
Luego,
p´´1 = 12a + 6b + 2c
p´1 = 4a + 3b + 2c + d
p´−1 = −4a + 3b − 2c + d
p−1 = a − b + c − d + e
Por lotanto,
D = px ∈ IR 4 x╱12a + 6b + 2c = 4a + 3b + 2c + d ∧ −4a + 3b − 2c + d = a − b + c − d +
D = px ∈ IR 4 x╱8a + 3b − d = 0 ∧ −5a + 4b − 3c + 2d − e = 0
Luego, (notemos que a, b y c no tienen restricciones)
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = ax 4 + bx 3 + cx 2 + 8a + 3bx + −5a + 4b − 3c + 2d
= ax 4 + 8x − 5 + bx 3 + 3x + cx 2 − 3 + 2d
primero, necesitamos encontrar un conjuntogenerador, para ello consideramos la matriz del
sistema y la escalonada reducida por fila(recordar que es un sistema homogéneo)
3
1 0 479 − 10
8 3 0 −1 0
47
47
∼
11
−5 4 −3 2 −1
0 1 − 24
− 478
47
47
Por lo tanto
a = − 479 c + 10
d − 473 e
47
24
11
b = 47 c − 47 d + 478 e
Luego:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e =

− 479 c +

10
47

d−

3
47

e x4 +

24
47

c−

= c − 479 x 4 + 24
x 3 + x 2 + d 10
x 4 − 11
x 3+ x + e − 473 x 4 +
47
47
47
Por lo tanto, un conjunto generador del conjunto D es
− 479 x 4 +

24
47

x3 + x2,

10
47

x4 −

11
47

11
47

8
47

x 3 + x, − 473 x 4 +

d+

8
47

e x 3 + cx 2 + dx + e

x3 + 1

8
47

x3 + 1

Además, este conjunto es linealmente independiente
β − 479 x 4 + 24
x3 + x2 + γ
47
9
10
− 47 β + 47 γ − 473 δ x 4 +

10
47
24
47

x 4 − 11
x 3 + x + δ − 473 x 4 + 478 x 3 + 147
11
β − 47 γ + 478 δ x 3 + βx 2 + γx + δ = 0

=0

Recordar que es una igualda polinomial, por lo tanto
β = 0, γ = 0 y δ = 0
x 3 + x 2 , 10
x 4 − 11
x 3 + x, − 473 x 4 + 478 x 3 + 1 es linealmente
es decir, − 479 x 4 + 24
47
47
47
independiente.
Así, − 479 x 4 + 24
x 3 + x 2 , 10
x 4 − 11
x 3 + x, − 473 x 4 + 478 x 3 + 1 es una base de V.
47
47
47

4) Dado que B es base de V, entonces es l.i.,...