2probBep2

Ejercicios Tema 5: SIMULACIÓN. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

5.12

EJEMPLOS

5.12.1

EJERCICIOS RESUELTOS

1

Ejercicio 1 Representa grá…camente las funciones de probabilidad de una distribución E(q> 12 )> cuando:
d)
e)

q = 5
q = 10

f)
g)

q = 25
q = 100

y emite conclusiones al respecto.

Solución.-

CURSO EIR-2003

c
°A.
Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño

Ejercicios Tema 5:SIMULACIÓN. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

2

Podemos observar como, a medida que aumentamos q, la distribución Binomial tiene un extraordinario
parecido con la distribución Normal. Observaríamos el mismo efecto con otras binomiales si bien es cierto
que cuanto más cercana sea la probabilidad de éxito s a 12 más rápida será la convergencia de una Binomial
a una Normal.
En general, una distribución E(q> s) separece a una curva normal cuanto mayor es el producto q ¢ s=
En virtud del Teorema Central del Límite (en adelante TCL) podemos concluir diciendo que:
p
E(q> s) ¡! Q(q ¢ s> q ¢ s ¢ t) cuando n ¡! +1

CURSO EIR-2003

c
°A.
Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño

Ejercicios Tema 5: SIMULACIÓN. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

3

Ejercicio 2 Comprobar de modo grá…co la aproximación de una distribuciónS (10) a una Normal, y emitir
conclusiones al respecto.

Solución.Hemos visto que la suma de q variables de Poisson independientes de parámetro  se distribuyen como
una Poisson de parámetro q ¢ = Por tanto podemos interpretar la distribución de Poisson de parámetro
 = 10 como la suma de cinco variables independientes Poisson de parámetro  = 2=
Sean
[l » S (2) l = 1> 2> 3> 4> 5
\ = [1 » S (2)>siendo la representación grá…ca de su f.d.p.:

\ = [1 + [2 » S (4)> siendo la representación grá…ca de su f.d.p.:

CURSO EIR-2003

c
°A.
Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño

Ejercicios Tema 5: SIMULACIÓN. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

4

\ = [1 + [2 + [3 » S (6)> siendo la representación grá…ca de su f.d.p. :

\ = [1 + [2 + [3 + [4 » S (8)> siendo la representación grá…ca de su f.d.p.:

\ =[1 + [2 + [3 + [4 + [5 » S (10)> siendo la representación grá…ca de su f.d.p.:

CURSO EIR-2003

c
°A.
Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño

Ejercicios Tema 5: SIMULACIÓN. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

5

Podemos observar como efectivamente si [ se distribuye
p según una Poisson de parámetro 10, entonces por
el TCL ,[ se puede aproximar a una Normal Q(10> 10)= En general sabemos que :
p
S ()' Q(> ) y la aproximación se considera buena si  A 5

Ejercicio 3 En una disribución E(200> 0=3) calcular s[[ ¸ 85]=

Solución.Si realizásemos el cálculo utilizando la distribución binomial tendríamos que calcular:
s[[ ¸ 85] = 1 ¡ s[[ ? 85] = 1 ¡

¶
84 µ
X
200
l=1

l

(0=3)l ¢ (0=7)200¡l

con el consiguiente costo computacional.
Para calcular esta probabilidad realicemos la aproximación de unadistribución Binomial a una distribución Normal. Sabemos que q es su…cientemente grande y que s no es cercano a cero, por tanto:
p
[ » E(q> s) ' Q(q ¢ s> q ¢ s ¢ t)

(5.1)

[ » E(200> 0=3) ' Q(60> 6=48) » [ 0
Aplicando la correspondiente corrección de continuidad, tenemos:
s[[ ¸ 85] ' s[[ 0 ¸ 85 ¡ 0=5] = s[[ 0 ¸ 84=5]
Tipi…cando resulta:
·

¸
[ 0 ¡ 60
84=5 ¡ 60
s[[ ¸ 85] ' s[[ ¸ 84=5] = s
¸
= s []¸ 3= 78] , siendo ] » Q(0> 1)=
6=48
6=48
0

Buscando en la tabla de la Q(0> 1), tenemos:
s[[ ¸ 85] ' s [] ¸ 3= 78] = 1 ¡ s [] ? 3= 78] = 1 ¡ 0=99992 = 0=0000 8

Ejercicio 4 Una moneda corriente se lanza 150 veces. Determinar la probabilidad de que salgan entre 70
y 80 caras.

Solución.Si resolviésemos el ejercicio utilizando la distribución binomial, tendríamos que:
si [ ´ Números de Caras allanzar una moneda 150 veces
[ » E(150> 1@2)

CURSO EIR-2003

c
°A.
Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño

Ejercicios Tema 5: SIMULACIÓN. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

6

Por tanto la solución del problema viene dada por:
s [70 · [ · 80] =

80
X

s [[ = n]

n=70

¶ µ ¶n µ ¶150¡n
80 µ
X
150
1
1
= 0=63084
s [70 · [ · 80] =
n
2
2
n=70

Resolvamos el ejercicio utilizando el TCL como aplicación a la...