2SeleOptim

1. Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren AB = 60 m i AC = 45 m. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura següent:












Voleu vendre aquest terreny i us paguen 500 € per cada metre quadrat no edificable i 2.500 € per cada metre quadrat edificable.

a) Determineu la relació que hi ha entre l’ampladax i la profunditat y del rectangle que determina la part edificable.
b) Determineu l’expressió que dóna el valor del terreny en funció de l’amplada x del rectangle edificable.
c) Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor màxim per a aquest terreny?
d) Quin és aquest valor màxim?

2. El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 12 m, i l’altura sobreaquest costat és de 5 m.
a) Donat un punt arbitrari sobre aquesta altura, obtingueu una expressió de la suma de les distàncies d’aquest punt a cada un dels vèrtexs del triangle.
b) Determineu els punts sobre l’altura que compleixen que la suma de les distàncies als tres vèrtexs del triangle sigui màxima i els punts per als quals sigui mínima.

3. La riba d’un tram de riu descriu la corba , per a xentre -3 i 3, i en el punt A = (0, 4) hi ha un poble, tal com es pot veure en l’esquema següent:










a) Expresseu la distància des d’un punt qualsevol d’aquesta vora del riu fins al poble, en funció de l’abscissa x.
b) Quin és el punt de la vora d’aquest tram de riu que és més lluny del poble?
c) Hi ha algun punt de la vora del riu a una distància del poble inferior a 2?
4. Suposem que el Soles troba a l’origen d’un sistema de coordenades i que un cometa segueix una trajectòria donada per la paràbola , tal com es veu a la figura següent:














a) Quin és el punt en què el cometa es troba més proper al Sol?
b) Quant val en aquest cas la distància del Sol al cometa?
c) Hi ha algun punt en què el cometa es trobi a la mateixa distància del Sol?
d) Hi ha algun punt en què ladistància entre el Sol i el cometa sigui un màxim local o relatiu?
Nota: Teniu present que la distància entre dos punts és màxima o mínima quan el quadrat de la distància és màxim o mínim.

5. S’ha de construir un gran dipòsit cilíndric de de volum. La superfície lateral ha de ser construïda amb un material que costa 30 € el m2 i les dues bases amb un material que costa 45 € el m2.
a) Determineu larelació que hi haurà entre el radi r de les bases circulars i l’altura h del cilindre, i doneu el cost C(r) del material necessari per construir aquest dipòsit en funció de r.
b) Quines dimensions (radi i altura) ha de tenir el dipòsit perquè el cost del material necessari per construir-lo sigui el mínim possible?
c) Quin serà, en aquest cas, el cost del material?

6. Volem unir el punt M situat enun costat d’un carrer de 3 m d’amplada amb el punt N situat a l’altre costat i 9 m més avall mitjançant dos cables rectes, un des de M fins a un punt P situat a l’altre costat del carrer i un altre des de P fina N seguint el mateix costat del carrer, segons l’esquema següent:









El cost de la instal·lació del cable MP és de 12 € per m. i del cable PN de 6 € per m.
Quin punt P hauremd’escollir de manera que la connexió de M amb N sigui tan econòmica com sigui possible? Quin serà aquest cost mínim?
7. Un camp té forma de trapezi rectangle, de bases 240 m i 400 m, i el costat perpendicular a les bases també de 400 m. Es vol partir tal com indica la figura per fer dos camps rectangulars C1 i C2. Anomenem x i y els catets d’un dels triangles rectangles que es formen.












a)Comproveu que .
b) Utilitzant la igualtat anterior, escriviu la suma de les àrees dels dos camps en funció de x.
c) El camp C1 es vol sembrar amb blat de moro i el camp C2 amb blat. Amb el blat de moro s’obté un benefici de 0,12 € per m2 i amb el blat un benefici de 0,10 € per m2. Determineu les mides de cada un dels camps per obtenir el benefici màxim.

8. Determineu quin és el punt de la gràfica...