2tecnica de conteo

TÉCNICAS DE CONTEO.
Para obtener el número total de los resultados, es necesario desarrollar algunas técnicas de
conteo, las cuales son:
1. Principio fundamental de conteo
2. Diagramas de árbol.
Permutaciones.
3. Análisis combinatorio.
Combinaciones.

DIAGRAMAS DE ÁRBOL.
El diagrama de árbol es una técnica gráfica empleada para enumerar todas las posibilidades
lógicas de una secuencia de eventos,donde cada evento puede ocurrir en un número finito
de veces.

Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Construir el diagrama de árbol para encontrar el total de posibles formas de resolver un
examen de 3 preguntas de falso o verdadero.
Primera
pregunta.

Segunda
pregunta.

F

Tercera
pregunta.
F
V
V

F
V

F
V
F

F

V

V
F
V
V

Por lo tanto el espacio muestral es: S= {FFF, FFV, FVF, FVV, VFF, VFV, VVF,VVV}

ANÁLISIS COMBINATORIO.
Los diagramas de árbol nos sirven para mostrar gráficamente el número de resultados
posibles de un fenómeno, pero esta ordenación tiene un inconveniente, pues a medida que
aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que recurrir a
otro proceso más sencillo para determinar el número total de resultados.
Para ello existen otras técnicas talescomo:
•

Principio fundamental de conteo.

•

Permutaciones.

•

Combinaciones.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO.
Si un evento puede realizarse de n1 formas diferentes, y si, continuando el procedimiento, un
segundo evento puede realizarse de n2 formas diferentes, y si, después de efectuados, un
tercer evento puede realizarse de n3 formas diferentes, y así sucesivamente, entonces el
número deformas en que los eventos pueden realizarse en orden indicado es el producto de
(n1) (n2) (n3)…
Ejemplo 1.
Encontrar el total de posibles formas de resolver un examen de 10 preguntas de falso o
verdadero.
Pregunta número

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Formas de responderla

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 formas

Explicación. En cada una de las 10 pregunta hay sólo dos formas deresponder, ya sea
falso o verdadero.
Ejemplo 2.
En un parque hay una banca con 5 lugares, si al parque asisten 5 hombres y 4 mujeres que
son amigos. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en la banca?
9

8

7

6

5

Formas de acomodarse en la banca.= 9x8x7x6x5= 15120.

Explicación.
En el primer asiento se pueden sentar cualquiera de los 9 amigos, para ocupar el segundo
asiento no se considera al amigo quequedó sentado en el primer asiento, por lo que quedan
8 amigos elegibles para ocupar dicho asiento y así sucesivamente hasta ocupar los 5
asientos.

PERMUTACIONES.
NOTACIÓN FACTORIAL.
Antes de iniciar con el estudio de las permutaciones es necesario conocer el concepto de
notación factorial, se llama factorial al producto de los enteros positivos desde uno hasta “n” y
lo representamos con elsímbolo n! (que se lee n factorial).
Así tenemos que:
0!=1

La notación factorial la
podrás
realizar en tu
calculadora, sólo busca el
símbolo n! ó x!

1!=1
2!=1x2=2
3!=1x2x3=6
4!=1x2x3x4=24
5!= 1x2x3x4x5=120
PERMUTACIONES.

Una permutación es una forma en la que pueden representarse los eventos, en la que el
orden en que aparecen es muy importante; por ejemplo con los números 1, 2 y 3 se
pueden hacerlos siguientes arreglos; 123, 132, 231, 213, 312 y 321, cada uno de ellos es
una permutación de los dígitos 1, 2 y 3 tomando los tres a la vez. Si sólo utilizamos dos de
los tres dígitos tendríamos los siguientes arreglos; 12, 21, 13, 31, 23 y 32 y cada uno de
ellos representa cantidades distintas entre sí.
Las permutaciones representan un arreglo ordenado de “r” objetos tomados de “n”,
en donde r≤ n.
La fórmula para hallar el número de permutaciones es la siguiente:
Donde:

n!
Prn =
(n − r )!

n= número total de objetos.
r= es el número de objetos que se
desea considerar de los “n” disponibles.

La permutación la podrás
realizar en tu calculadora,
sólo busca el símbolo
nPr.

Ejemplos resueltos.
Ejemplo1.
Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con los números 2, 4, 6 y...