3 L3 AF 2015 1

3
EXPONENTES Y RADICALES

n

3.1 SIGNIFICADO DE a DONDE a ES UN NÚMERO REAL Y n UN NÚMERO RACIONAL
Con relación al significado de a n , usted sabe, por ejemplo, que 23 significa 2 × 2 × 2 y, por lo tanto, que
3

n

p/q

-3

2 =8. ¿Conoce también el significado de 2 cuando n es un entero negativo, como en 2 ? ¿Y el de a ,
donde p/q es una fracción racional? Con esta sección buscamos que ustedinterprete y opere
correctamente expresiones de la forma a

n

en las que a es un número real y n es un entero (positivo,

negativo, o cero) o una fracción racional p/q.
n

Definición 1. Si n es un entero positivo y a un número real, el símbolo a , en el que a se llama base y n
n 
×
a 
× ... ×
a
exponente, representa el producto de a tomado n veces como factor, así: a = a
n veces

3

2
2
2
8
2
1
4
2
Ejemplo 1: 5 =5, 5 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625, ( − 3) =( − 3)( − 3)= 9,  −  = − × − × − = −
3
3
3
3
27


En los ejemplos anteriores se ilustra también el hecho de que si la base es un número negativo el signo
del resultado depende del exponente: si el exponente es par, el resultado es positivo; si es impar, el
resultado es negativo.
Atención: Si usted está atento al significado y empleo delos símbolos de agrupación, entenderá
n

n

fácilmente que ab ≠ (ab) . Pero no es suficiente con entender el por qué de la diferencia; es necesario
n

n

que aprenda la razón, para que opere correctamente: ab significa que el valor de a se multiplica por b ,
para lo cual es necesario calcular primero la potencia, esto es, la potencia precede al producto:
5 × 2 = 5 × 2 × 2 × 2 = 5 × 8 = 40. Encambio, (ab)
3

n

= (ab)(ab)…(ab), n veces, es decir, el producto ab

precede a la potencia; debe calcularse antes de ella. (5 × 2) =(10) =1000.
3

3

En particular, debe estar muy atento a esta diferencia: −b ≠ (−b) . El término a la izquierda, −b
n

n

n

es el

opuesto de b , es decir, se calcula primero b y después el opuesto: −2 = −(2 × 2 × 2 × 2) = ‒16. En
n

n

4

cambio, (−b) es la n-simapotencia del opuesto de b, así: (−2) = (‒2) (‒2) (‒2) (‒2)=16.
n

4

3

3

3

Ejercicio 1. Calcule las potencias siguientes: 5 , –5 y (–5) .

2
Ejercicio 2. Calcule las potencias siguientes:  
3
‒1

Definición 2. a = 1, para todo a ≠ 0, a
0

0

0

0

0

5

5

5

2
2
, −   ,  −  .
3  3
n

1
 1
‒n
‒1 n
= 1/a, el inverso de a, para a≠0, y a = (a ) =   = n .
a
a
1

Ejemplo 2. 8=1; (‒3) =1; (1/2) =1, 0 no está definido, 3– =

1
,
3

17

1
3
2 = 3 = y  
8
2
5
1

‒3

2

−2

−n

2
  3 −1 
5
=   =
=

3
 5  
 



p
q
 25 
=

 
 9  . En general :  q


 
 p

n

3.2 LEYES O PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
En la tabla siguiente, a y b representan números reales, y los exponentes m y n números enteros. Se le
recomienda enunciar lapropiedad en términos del proceso involucrado en su aplicación. Por ejemplo en
n

n n

la número 3 de la tabla, (ab) = a b , diríamos algo como “Para elevar un producto a una potencia se
eleva a la potencia cada uno de los factores y luego se multiplican los resultados”. Claro que más sencillo
sería aprender que la potencia distribuye sobre el producto

m

n

m+n

3

1. a a = a

m n

4

3+4

2 •2 = 2

mn3 4

2. (a ) =a

=2

Para multiplicar potencias de la misma

7

base sumo los exponentes

Para elevar una potencia a otra

12

(2 ) = 2

potencia multiplico los exponentes

Para
n

(2•5) =2 •5 ⇔10 =8•125=100

n n

3

3. (ab) = a b

3

3

3

elevar

un

producto

a

una

potencia elevo a la potencia cada uno
de los factores

4. (a/b) =a /b ; b≠0
n

m

n

n

m‒n

n

3

5. a /a = a

3

3

5

3‒5

3Enuncie usted la regla

(2/5) = (2 /5 )

2 /2 = 2

‒2

2

=2 =1/2 = 1/4

Enuncie usted la regla

Algunos ejemplos:

1. y3 y 2 = y3+2 = y5
2.

t5
t2

= t 5 -2 = t 3

( )

3. x 2

4

 5z2
4. 
 2t3


= x 2×4 = x8

( )
3
( )

3
5z2

 =

2t3

3

( )
=
3
23. ( t3 )
53 . z 2

3

=

125z6
8t9

1
 1 
5. - 2-4 = - 
=4 
16
2 
1
1
4
6. ( -2 ) =
=
4
( -2 ) 16

18

Eliminar los exponentes...