3 Problemas De Probabilidad Geometrica

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Tres problemas de probabilidad geométrica.
Ricardo Miró
Consejo de la Magistratura de la Nación
Área de Procesamiento de Datos

1. Introducción.
Este artículo tratará de describir informalmente algunas de las ideas vinculadas con
la noción clásica de probabilidad y una importante generalización de la misma.
Si tenemos una urna con 3 bolillas rojas y 2 negras, se dice que laprobabilidad de
sacar una bolilla roja es

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y que la probabilidad de sacar una bolilla negra es . Esta
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idea es completamente intuitiva, y responde a lo establecido por Laplace. Su famosa
definición consigna que si se pueden determinar los casos posibles Cp de un determinado
experimento aleatorio (cantidad de bolillas) y los casos Cf favorables del mismo
(cantidad de bolillas de un colorelegido de antemano), entonces la probabilidad de un
suceso se determina mediante el cociente

p=

Cf
Cp

Supongamos ahora el siguiente problema: se tienen tres recintos de forma irregular,
cada uno de ellos dentro de tres rectángulos congruentes, tal como lo ilustra la Fig. 1.

Fig. 1: Tres recintos de contorno irregular dentro de un rectángulo de igual área..

Imaginemos ahora elsiguiente experimento aleatorio: Se elige al azar un punto
dentro de cada uno de los rectángulos A, B y C y se pide hallar, en cada caso, la

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probabilidad de que el punto elegido esté ubicado dentro del recinto irregular
respectivo. Llamaremos S a este preciso suceso aleatorio.
Es fácil comprender que el problema planteado tiene bastante sentido, pues se
verificará sin demasiado esfuerzo,que será más fácil acertar al recinto del rectángulo C
que al recinto del rectángulo A. Por su parte, el acierto al recinto del rectángulo B
ofrecerá una dificultad intermedia.
Por supuesto, la definición de Laplace no tiene lugar en este tipo específico de
problema. Sin embargo, restringiéndonos al recinto R del rectángulo A, la probabilidad
buscada se determina mediante la siguientedefinición:

p( S ) =

área ( R )
área ( A)

(1)

Como resultará obvio, una definición similar se adoptará para los recintos de los
restantes casos. Ahora bien: determinar el área del rectángulo A constituye una operación
inmediata, mientras que no sucede lo mismo para el área del recinto R. Al respecto, las
observaciones siguientes son muy intuitivas y cruciales:
i)

Si se repite un grannúmero N de veces la operación de elegir al azar un
punto del rectángulo, contándose las veces Cf en las que el punto cae dentro
del recinto A, entonces el cociente

ii)

Cf
será una aproximación muy aceptable
N

de la probabilidad del suceso S.
En virtud de la experiencia triple descripta en la Fig. 1, y utilizando la
expresión dada en (1), el producto

Cf
⋅ área ( R ) seráasimismo una
N

aproximación muy aceptable del área del recinto A.
El problema descrito constituye apenas un ejemplo de lo que se entiende por
probabilidad geométrica. Por otra parte, los pasos i) y ii) especificados más arriba
constituyen la esencia del llamado método de Montecarlo, que en las aplicaciones
concretas tales como las tareas de agrimensura, ofrecen frecuentemente más ventajasoperativas que los métodos deterministas.
Según nos comenta el Dr. Santaló [4], fue el naturalista francés conde Georges
Louis Leclerc de Buffon (1707-1788), uno de los primeros en trabajar con el concepto de
probabilidad geométrica, tal como se establece a partir de (1). En su monumental tratado
Historie Naturelle de 44 volúmenes -que sus ayudantes terminaron de compilar en 1804Buffon dejósentadas además las bases para el estudio de varios capítulos en Biología,
Zoología y Anatomía Comparada [1].
2. Un problema de Encuentros.
El siguiente problema ha sido extraído del clásico libro escrito por el profesor Ríos
[2], y se espera que ilustre correctamente el espíritu de las ideas expuestas en la
introducción.

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Un chico invita a una chica, citándola en un bar entre las 18 y 19...