3_Vectores_COM F

Álgebra y Geometría Analítica

Vectores en R2 y R3: Grossman -227-290
Un vector v = PQ es un segmento de recta dirigido con
origen en P y extremo en Q. (Notar que PQ≠QP).
Las propiedades que caracterizan
Q
de un segmento dirigido son su
magnitud o módulo, su dirección y
v
su sentido.
P
v

Existen en el plano infinitos vectores equivalentes
a un segmento dirigido PQ. Denominaremos vector
PQ, ovector v a todo elemento de ese conjunto.

B

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Elementos de un vector:
Los vectores A y B tienen el
mismo módulo y la misma
dirección
El vector v se representa
trasladando PQ al origen de
coordenadas de R2
En estas condiciones v admite una
expresión como par ordenado
indicando las coordenadas de su
extremo v = (a, b).
a y b se denominan también
componentes del vectorv.

(a, b)

b
v
a

|V| =

a

2

+b

2

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Vectores:

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Módulo y dirección:
Demuestra que: | v | = 0 ⇔ v = 0
La dirección de v se define
como el áng. θ, 0≤ θ<2π entre
v y la dirección del eje
horizontal x positivo.
Dos vectores tienen igual
dirección si y sólo si sus
ángulos respectivos con dicho
eje son iguales.
El vector nulo no tienedirección.
Si v = (a, b) es no nulo y a = 0 ⇒ θ = π⁄2 o θ = 3π⁄2 ;
si v es no nulo y a ≠ 0 ⇒ θ = arctg( b/a)

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Dirección de v en R2:
Si v es no nulo y a ≠ 0 ⇒ θ = arctg( b/a)
Si v = (2, 2) , θ = arctg( b/a) = arctg 1, luego
θ = π/4 atendiendo a la posición de (2,2)
Pero si v = (-1, -1) , θ = arctg( b/a) = arctg 1,
y la dirección θ = 5π/4 , atendiendo al
cuadrante al quepertenece (-1, -1)
La dirección de (0,b) es θ = π/2 si b>0 y
θ = 3π/2 si b<0.

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Operaciones con vectores:
Suma de vectores:
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) =
= (u1+ v1, u2+v2)
u2+v2

u

Es cerrada
Asociativa

v
u2

Propiedades:

u+v

Conmutativa

v2

Existencia de elemento
neutro (el vector nulo)

v

u1

v1 u1+v1

Todo vector tiene
opuesto

Álgebra y Geometría AnalíticaSuma de un número finito de vectores:
• La suma u + v está dada por el vector que
está sobre la diagonal del paralelogramo
que forman u y v.
• La suma gráfica puede extenderse a la
suma de más de dos vectores.
u

v

u+v+t

t

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Resta: u – v = u + (-v)
-v

u-v
u

u + (- v)

v

Gráficamente, u - v es
equivalente al segmento
orientado cuyo origen es
el extremo de v ysu
extremo es el extremo de
u.

Se verifica la desigualdad del triángulo:
|u + v| ≤ |u| + |v| y además
|u + v| ≥ | |u| - |v| |

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Multiplicación por un escalar:
Sea α ∈ R y v = (a, b) ∈ R2
Definimos α v = (α a, α b)
Propiedad: |α
α v | = |α | | v | (demostrar!!)
Definición: La dirección de αv es :
= dirección de v , si α>0
= π + dirección de v , si α< 0
Propiedades:(αβ)v = α(βv) ; (α+β)v = αv + βv ;
α(v + w) = αv + αw; 1v = v
Vector Unitario: v’ = v / |v| es un vector de módulo
1 en la dirección de v

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Vectores unitarios - Descomposición de un vector

• Sea v = (a, b) no nulo
• v’ = (1/|v|)v es el vector unitario de igual
dirección que v (justificar)
Si v = (a, b)= (a, 0)+(0, b) = a (1, 0) + b (0, 1)
Llamando i = (1, 0) y j = ( 0, 1)obtenemos:
v=ai+bj.
Si θ es la dirección de v, entonces:
v = (|v|cos θ) i + (|v|sen θ) j
v’ = (cos θ) i + (sen θ) j

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c

Vectores en R3:
v = (a, b, c) ; v = a i + b j + c k
|v| = a 2 + b 2 + c 2

a

b

Vectores determinados por dos puntos:
P = (a, b, c) y Q = (d, e, f) , trazando los vectores OP y OQ
con inicio en el origen de coordenadas, el vector PQ se
puedeobtener como OP + PQ = OQ.
De donde PQ = OQ – OP = (d-a, e-b, f-c)
Si P = (-1, 3, 3) y Q = (2, -1, -4) ,
PQ = (2-(-1), -1-3, -4-3) = (3, -4, -7)

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Ángulos directores de un vector:
En R2, los llamamos α , β y son los ángulos que el vector v =
(a, b) forma con los semiejes (+) coordenados.
Se verifica que cos α = a / |v| y cos β = b / |v|
Se verifica además cos2 α +...