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3. y” + y = δ (t- 2π) : y(0)=0, y’(0)=1
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados, tenemos:
{ y” + y } = { δ (t- 2π)},
{y”} + {y} = { δ (t- 2π)}

Aplicando la transformada de la derivaday la de la función delta de Dirac (δ) tenemos:
δ2 { y(t)} – δy(0) – y’(0) + {y} = e-2πδ reemplazando los valores iniciales;
δ2 { y(t)} – δ(0) – (1) + {y} = e-2πδ
así,
{ y(t)} (δ2 + 1) =1 + e-2πδ{ y(t)} =
De donde
y(t) = -1 { } + -1 { } , por el segundo teorema de traslación, obtenemos:
= sent + sen(t- 2π) u(t- 2π)
Como sen(t- 2π) = sent, entonces
y(t) = sent + sent(u(t-2π)).
4. y” + 16y = δ (t- 2π) y(0)=0 , y’(0) = 0
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos:
{y”} + {16y} = { δ (t- 2π)}
Usando la transformada para la derivada y para la función de delta deDirac (δ), tenemos:
δ2 { y(t)} + – δy(0) – y’(0) + 16{y(t)} = e-2πδ reemplazando los valores iniciales;
δ2 { y(t)} + 16{y(t)} = e-2πδ
así,
{ y(t)} (δ2 + 16) = e-2πδ
{ y(t)} =
Luego
y(t) =-1 { } , por el segundo teorema de traslación, obtenemos:
y(t) = sen(t- 2π) u(t- 2π) = sen 4t u(t- 2π)
45. y’(t) = 1- sen t - ; y(0)= 0
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación tenemos
{y’(t)} =(1) - (sent) - [ (1)
Usando las propiedades de la transformada, y transformadas de la derivada y la integral, obtenemos de (1);}
δ { y(t)} – y(0) = (1) - (sent) - {1} * { y(t) }reemplazando los valores de las transformadas conocidas y los valores iniciales nos queda:
δ { y(t)} = - - {y(t)}
Luego,
δ { y(t)} + = -
46. + 6y(t) + 9, y(0)= 0Aplicando transformada de Laplace a la ecuación tenemos:
{} + 6{y(t)} + 9{ = {1}
Aplicando la transformada de la derivada y de la integral, nos queda que
δ { y(t)} – y(0) + 6{y(t)} + 9{1} * {y(t)} ={1}
Reemplazando el valor inicial y las transformadas de funciones conocidas, obtenemos:
δ { y(t)} + 6{y(t)} + 9 * {y(t)} =
Factorizando {y(t)}
{y(t)}( δ + 6 + ) =
{y(t)} ()...