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Universidad Tecnológica de Chile
SEDE CALAMA

Aplicación de las
Derivadas
APUNTES Y EJERCICIOS

Guía de Apuntes y Ejercicios
LA DERIVADA COMO TAS A DE VARIACION DE UN A FUNC ION
En esta unidad se proponen ejercicios tratando de que se valoricen la derivada de
una función en un punto como indicador matemático de la rapidez instantánea de
variación o tasa instantánea de variación de una función.En distintas disciplinas como Electricidad, Electrónica, Termodinámica, Mecánica,
Economía, Biología, etc, resulta de importancia fundamental no sólo saber que
determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra, sino conocer cuán rápido
se produce esa variación.
Por ejemplo, en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy
baja temperatura. Es claro que la temperatura corporalserá función del tiempo que
la persona permanezca en el agua y claro también es que la función será
decreciente al haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a
alcanzar la temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos. Sin
embargo, en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la
temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal. Ladisminución podría ser más
rápida al principio de la caída e ir luego enlenteciéndose, ocurrir exactamente lo
contrario, etc. De toda esa información dependerá que se sepa cuanto tiempo se
tiene aún disponible para salvar la vida de la persona, y esa información nos la dará
justamente la derivada de la función en cuestión.
De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen justamente
comoderivada de otra.
A título de ejemplo: la rapidez instantánea de un móvil se define como la derivada
de la función espacio recorrido; la aceleración como derivada de la velocidad; la
fuerza electromotriz inducida, en Electrotecnia, como la derivada del flujo del campo
magnético,

todas

ellas

respecto de la

variable tiempo

(t).

El ángulo

de

desplazamiento del eje de una viga, como derivada dela función “elástica de la
viga”; la intensidad de corriente eléctrica como la derivada de la carga eléctrica
respecto del tiempo; el gasto instantáneo, en Hidráulica, como derivada del
volumen respecto del tiempo, etc.

Aplicaciones de las Derivadas

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Guía de Apuntes y Ejercicios
Al respecto resulta importante entender con claridad el significado de lo que se
llama “Interpretacióngeométrica de la derivada” donde se demuestra que la
derivada de una función

en un punto

representa el coeficiente angular

de la recta tangente al gráfico representativo de la función en el punto

.

Esta información permite obtener la rapidez con que está variando la función en el
punto considerado. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto ,
más rápido varía la función en él, yesta información es de vital importancia en una
variedad enorme de problemas de distintas disciplinas.
Se debe considerar que a la hora de resolver problemas de la realidad, aplicando
modelos funcionales, nuestras funciones

representarán magnitudes o cantidades

que varían en función de otras magnitudes o cantidades a las cuales representará
nuestra variable . Por ejemplo, si estás estudiando lavariación en el tiempo de la
energía

dada por un dispositivo de algún tipo, nuestra función

función energía

, nuestra variable

representarán los valores de

representará al tiempo

representará la
y nuestras

.

Si se calcula la derivada en algún instante

,

, se obtiene con qué rapidez

está cediendo energía el dispositivo en ese instante medida, por ejemplo, en

,

en un problema deTermodinámica. Esa derivada que se ha calculado no es otra
cosa que la potencia del dispositivo en ese instante.
Es claro que si se obtiene la expresión analítica de la función derivada se puede
obtener datos cuantitativos de todo lo anterior, incluso la representación gráfica de
la función derivada que permite tener una idea rápida y más acabada de cómo
transcurre el fenómeno en estudio.
En muchos...