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TRILCE

Capítulo

PRODUCTOS NOTABLES

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MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

Es la operación que tiene como objetivo determinar una expresión algebraica llamada producto, dadas otras
expresiones algebraicas llamadas multiplicando y multiplicador, la igualdad obtenida es una identidad.
Ejemplo :
(x+2) (2x+1) = 2x2 + 5x + 2

multiplicando y multiplicador

producto
identidad

PRODUCTOS NOTABLES O IDENTIDADESALGEBRAICAS
1.

Binomio al cuadrado

(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a  b)2  a 2  2ab  b 2
Nota : (a  b)2  (b  a)2 en general : (a  b)2 m  (b  a)2 m ; (m  Z)
2.

Identidades de Legendre

(a  b)2  (a  b)2  2 (a 2  b 2 )
(a  b)2  (a  b)2  4 ab
3.

Diferencia de cuadrados

(a  b)(a  b)  a 2  b 2
4.

Binomio al cubo

(a  b)3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b3

ó

(a  b)3  a 3  b3  3ab(a  b)
Identidad de Cauchy

(a  b)3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b3

ó

(a  b)3  a 3  b 3  3ab (a  b)
Identidad de Cauchy

5.

Identidades de Steven

(x  a)(x  b)  x 2  (a  b)x  ab
(x  a)(x  b)(x  c)  x 3  (a  b  c) x 2  (ab  ac  bc) x  abc

6.

Suma y diferencia de cubos

(a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3
(a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3
27

Álgebra
7.

Trinomio alcuadrado
(a  b  c )2  a 2  b 2  c 2  2ab  2 ac  2 bc

8.

Trinomio al cubo
(a  b  c )3  a 3  b 3  c 3  3 a 2 b  3 a 2 c  3 b 2 c  3 b 2 a  3 c 2 a  3 c 2 b  6 abc

ó
(a  b  c)3  a 3  b3  c 3  3 (a  b)(a  c)(b  c)

IDENTIDADES ADICIONALES
1.

Identidad de Argan'd

(a 2n  a n bm  b 2m )(a 2n  a n b m  b 2 m )  a 4 n  a 2 n b 2 m  b 4 m
*
2.

Caso particular : (x 2 x  1)(x 2  x  1)  x 4  x 2  1

Identidades de Lagrange
(a 2  b2 )(x 2  y 2 )  (ax  by)2  (ay  bx )2
(a 2  b 2  c 2 )(x 2  y 2  z 2 )  (ax  by  cz)2  (ay  bx )2  (az  cx )2  (bz  cy)2

3.

Identidad de Gauss

(a  b  c )(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc )  a 3  b 3  c 3  3abc
de donde :
1
(a  b  c)[(a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 ]  a 3  b3  c 3  3abc
2

4.

Otrasidentidades :
(a  b  c )(ab  ac  bc )  (a  b)(a  c )(b  c)  abc

(a  b)4  (a  b)4  8ab (a 2  b 2 )

(ab  ac  bc)2  a 2b 2  a 2c 2  b2c 2  2abc (a  b  c)
Algunas Relaciones Condicionadas :
I.

Si : a + b + c = 0
1.

a 2  b 2  c 2  2 (ab  ac  bc)

2.

a 3  b3  c 3  3abc

3.

a 4  b4  c 4 

4.

a 5  b5  c 5  5abc (ab  ac  bc)

1 2
(a  b2  c 2 )2
2

II.

Si :x; y; z  R / x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx ,
entonces : x = y = z.

II.

Si : x; y; z  R  m; n; p  Z / x 2m  y 2m  z 2p  0 ,
entonces : x = 0; y = 0; z = 0.

28

EJERCICIOS PROPUESTOS
08. Si :

01. Si : x 3  y 3  20 ; xy  5

1

a  
a


Calcular :

M  (x  y)3  15(x  y)  15
a) 40
d) 30

b) 35
e) 15

2

3
 3 , entonces a 

a) 27
d) 4,3758

c) 20

1
a3

es :

b) 6
e) 0

c)12

09. Hallar el V.N. de :

02. Efectuar :

E  (m3  n3 )1
2

2

4

4

(a  b)(a  b)(a  b )  (b  a )
b) 2b 2

a) 2a 2
d) 2b

4

c) 2a 4

e) 0

2

Calcular :
1

c) -3

1

 x 2  y 2
E      
x
y

y a.b = 3.

Entonces (a  b)2 es :
b) -7
e) 10

c) -9

a) 12

b) 13

d)

e) 11

3

c)

167

(x  y)2  2 (x 2  y 2) , el valor de :

11. Si :
05. Si : x 

c)

x y
  167 ; x  0 ; y 0
y x

x 2  y 2  16

b) -4
e) 2

a) 6
d) 12

b) 1
e) 4

x 3  y 3  64

E

04. Si : a  b  5

a) 2
d) 3
10. Si :

03. Si : x+y = 4; calcular :

a) 6
d) -6

Si : mn = 2 y m+n = 2 2 .

1
4
x

E

3x 3  y 3
x 2y



3x  2 y
6y

es :
5x
2x  y

Hallar : (x 2  x  2 )(x 3  x  3 )
a) 243
d) 120

b) 240
e) 3

06. Sabiendo que : x 

1
x

3



x

2

V

1
x2

si :

1 1
4
 
x y xy

a) 2d) 4
; si : x 

1
a
x

b) 3
e) 6

b) a 2  2

c) (a  2 )(a  2 )

d ) (a  2 )(a  2)

e) a  2

c) 1

13. Calcular :
3

a) (a-2)(a+2)

2

x 2  y 2 x  2y
2y


xy
2x
x  3y

c) 25

07. Determine :

1

c) 5

12. Calcular :

b) 36
e) 23

x2 

b) 4
e) 2

1
 3 ; determinar el valor de :
x

E  x3  x 2 

a) 49
d) 18

c) 728

a) 3
d) 6

x 2 x  x 5  27

a) x - 3

b) 3

d) -3

e) 3 x 5

3

x...