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Páginas: 2 (305 palabras)
Publicado: 12 de septiembre de 2015
Unidad 4: La antiderivada
Integrales impropias
Valor presente
1
¡ Interrogante !
¿Cuál de las dos regiones sombreadas tiene mayor área?
y
y
y = 1/x
y = 1/x2
x
x
2
Integrales impropias
Sea f una función definida sobre R, las integrales del
tipo:
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
a
se llamanintegrales impropias, en las cuales los
límites de integración superior y/o inferior no son
números finitos.
3
Cálculo de la integral impropia
Si f (x) es continua para x a,entonces:
a
f ( x ) dx lím
N
N
a
f ( x ) dx
Si el límite es un número finito se dice que la integral
converge.
4
Ejemplos
Calcular:
1
a)
dx
2
1
x
1
b)
dx
1
x
c)
1
2
x
dx
3
2
( x 2)
5
Nota:
En algunos casos para determinar algunas integrales
impropias empleamos el
Teorema:
lím
x m e kx 0
x
con m >0 y k > 0
Ejemplo
Calcular:
0
xe
2x
dx
6
Ejemplo:
Dada la función f definida por
f ( x) xe
2x
a. Grafique la función
b. Calcule
0
xe
2x
dx
7 Ejercicio
Determine:
dx
2
x(Lnx )
2
8
Aplicaciones: El valor presente
El valor presente de una inversión que genera ingresos
perpetuos a razón de f(t) anual suponiendo unatasa de
interés anual predominante r capitalizado continuamente
se determina por la integral impropia.
rt
A f (t )e dt
0
9
Ejemplo
Un donante desea regalar a unauniversidad privada una
suma de la cual pueda retirar a perpetuidad US$ 7 000 al
año para apoyar el funcionamiento de su centro de
cómputo. Suponiendo que la tasa de interés anualpredominante permanecerá fija al 10% capitalizado
continuamente. ¿cuánto dinero debe dar el donante a la
universidad?
Resolver ejercicios del texto pág. 729 del N° 1 al 8
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Integrales impropias
Valor presente
1
¡ Interrogante !
¿Cuál de las dos regiones sombreadas tiene mayor área?
y
y
y = 1/x
y = 1/x2
x
x
2
Integrales impropias
Sea f una función definida sobre R, las integrales del
tipo:
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
a
se llamanintegrales impropias, en las cuales los
límites de integración superior y/o inferior no son
números finitos.
3
Cálculo de la integral impropia
Si f (x) es continua para x a,entonces:
a
f ( x ) dx lím
N
N
a
f ( x ) dx
Si el límite es un número finito se dice que la integral
converge.
4
Ejemplos
Calcular:
1
a)
dx
2
1
x
1
b)
dx
1
x
c)
1
2
x
dx
3
2
( x 2)
5
Nota:
En algunos casos para determinar algunas integrales
impropias empleamos el
Teorema:
lím
x m e kx 0
x
con m >0 y k > 0
Ejemplo
Calcular:
0
xe
2x
dx
6
Ejemplo:
Dada la función f definida por
f ( x) xe
2x
a. Grafique la función
b. Calcule
0
xe
2x
dx
7 Ejercicio
Determine:
dx
2
x(Lnx )
2
8
Aplicaciones: El valor presente
El valor presente de una inversión que genera ingresos
perpetuos a razón de f(t) anual suponiendo unatasa de
interés anual predominante r capitalizado continuamente
se determina por la integral impropia.
rt
A f (t )e dt
0
9
Ejemplo
Un donante desea regalar a unauniversidad privada una
suma de la cual pueda retirar a perpetuidad US$ 7 000 al
año para apoyar el funcionamiento de su centro de
cómputo. Suponiendo que la tasa de interés anualpredominante permanecerá fija al 10% capitalizado
continuamente. ¿cuánto dinero debe dar el donante a la
universidad?
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