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3. La distribución normal
Introducción
Como sabes una distribución es la relación entre los valores que pueden tomar una variable y la probabilidad que le corresponde.
En este caso estudiaremos la distribución de una variable aleatoria continua la cual proviene de una medición, por ejemplo la estatura de un grupo de chicos entre 15 y 18 años; el peso en kilogramos de estos chicos; la medición delas placas de acero para una estructura, etc.
La mejor forma de trabajar con una variable aleatoria continua es por medio del área bajo la curva, cuyo tema lo viste y trabajaste en la unidad de aprendizaje de Cálculo Integral.
La forma de representar las probabilidades de una variable aleatoria continua es por medio de una gráfica de una función simétrica, cuyos límites están entre menos infinitoy más infinito. El área bajo esta curva es igual a 1 o 100%; esto debido a los axiomas de probabilidad que ya viste con anterioridad.
Veamos ahora cómo esa curva simétrica se estudia mediante una distribución de probabilidad normal.
La distribución de probabilidad normal es aquella en la cual, a partir de un punto central de máxima frecuencia (la media de la distribución), los valores mayores ymenores que la media se distribuyen simétricamente a derecha e izquierda, disminuyendo gradualmente hasta desaparecer.

Esta distribución permite resolver, en forma aproximada, los problemas propios de las distribuciones binomial o de Poisson, por lo que su importancia en probabilidad y estadística es fundamental.

Aunque los conceptos básicos fueron planteados inicialmente por el matemáticofrancés Abraham de Moivre (1667- 1754) y por el astrónomo francés Marques Pedro Simon de Laplace (1749-1827), fue el matemático alemán Karl Fiedrich Gauss (1777-1855) quien presentó las leyes fundamentales de la distribución normal de probabilidad, de manera que ésta se conoce también como distribución gausiana y su curva (curva normal), se denomina igualmente campana de Gauss.
Propiedades de la curvanormal o campana de Gauss
1. Es simétrica en forma de campana.
2. La media, la mediana y la moda tienen el mismo valor, ubicado al centro de la figura.
3. Teóricamente, la curva se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, sin tocar nunca el eje horizontal.
Para poder calcular probabilidades con esta curva normal, es necesario hacer varias transformaciones, esto debido a que si utilizamos laintegración de área bajo la curva, dicha integración es muy compleja.

La función de distribución normal con parámetros μ y σ es:


Como un número elevado de fenómenos se comportan o pueden ser aproximados por una distribución normal es de importancia fundamental su estudio y utilización. Por ello nos apoyamos en su expresión gráfica que es la Curva Normal, la cual proviene de una distribución defrecuencias que tiene muchas observaciones cercanas al centro de la distribución para luego disminuir gradual y simétricamente en ambas direcciones.




Distribución Normal Estándar


Las variables aleatorias continuas serán transformadas en puntajes estándar o tipificaciones, esto para poder localizar las variables sobre la gráfica de la curva normal.

La función de Distribución Normal Estándarqueda establecida por:



La transformación la realizaremos mediante la siguiente equivalencia o tipificación, bajo el cambio de variable:

Tipificación

Ahora seguiremos trabajando en resolver cuestionan tés de probabilidad del tipo P (a ≤ x ≤ b) pero usando la estandarización y tablas de áreas bajo la curva normal estándar, las cuales ya fueron determinadas por matemáticos para evitar perdertiempo en el manejo y cálculo de áreas bajo la curva por medio de integrales.

Comienza a tipificar analizando los siguientes ejemplos en los cuales, como primer paso, encontrarás el valor de z probabilísticamente.

Ejemplo 1
Obtener la probabilidad de que el puntaje estándar sea menor o igual que -2.38
Entenderás que esto significa z ≤ - 2.38
Como z tiene un signo negativo indica que el valor...