3011 Desigualdades Cuadraticas

Desigualdades Cuadr´aticas y Racionales
MATE 3011
Material Suplementario Para el Curso M´etodos Cuantitativos 1

Este suplemento tiene el prop´osito de mostrar como resolver desigualdades que contienen una expresi´on cuadr´atica o una expresi´on racional. Los m´etodos que presentaremos difieren de los desarrollados para resolver desigualdades lineales y desigualdades con valor absoluto. Comoparte del
proceso de resolver la desigualdad cuadr´atica la rearreglaremos para que un lado sea igual a cero.
Luego factorizaremos la expresi´on cuadr´atica que se obtiene.
Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad x2 + x − 2 > 0.
´
SOLUCION.
Comenzamos factorizando la expresi´on cuadr´atica pues uno de los lados es igual a
cero.
x2 + x − 2 > 0
(x + 2)(x − 1) > 0
Ahora resolvemos la ecuaci´on (x + 2)(x − 1)= 0. Tenemos que
x + 2 = 0 o x − 1 = 0.
Obtenemos que x = −2 o x = 1. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: (−∞, −2),
(−2, 1), (1, ∞). Sabemos que x = −2 y en x = 1 satisfacen la ecuaci´on x2 + x − 2 = 0. Deseamos
determinar el signo de la espresi´on x2 + x − 2 en los intervalos (−∞, −2), (−2, 1), (1, ∞). Para
esto determinamos el signo de cada uno de los factores usando unvalor de x en cada uno de los
intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. Por ejemplo, para determinar el
signo del factor x − 2 en el intervalo (−∞, −2) escogemos un valor de x que este en este intervalo,
digamos x = −3 y lo subustituimos en x − 2. Obtenemos x − 2 = −3 − 2 = −5. Luego x − 2 es
negativo en el intervalo (−∞, −2). Por otro lado x − 1 = −3 − 1 = −4 por lo que x −1 es negativo
en el intervalo (−∞, −2). Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. Construimos
una tabla, llamada una tabla de signos, para organizar la informaci´on obtenida:
Intervalos

(−∞, −2) (−2, 1) (1, ∞)

Signo de x + 2

−

+

+

Signo de x − 1

−

−

+

Signo de (x + 2)(x − 1)

+

−

+

El signo de (x + 2)(x − 1) se obtiene multiplicando el signo de x − 2 con el signo dex + 1. Nos
interesa saber donde (x + 2)(x − 1) > 0, es decir donde (x + 2)(x − 1) es positiva. Esto ocurre en
(−∞, −2) o en (1, ∞).
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Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad x2 ≤ 4x + 12.
´
SOLUCION.
Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresi´on resultante:
x2 ≤ 4x + 12
x2 − 4x − 12 ≤ 0
(x + 2)(x − 6) ≤ 0.
Resolvemos la ecuaci´on (x + 2)(x − 6) = 0.Obtenemos que x + 2 = 0 o x − 6 = 0. Luego x = −2 o
x = 6. Ahora construimos una tabla de signos.
(−∞, −2) (−2, 6) (6, ∞)

Intervalos
Signo de x + 2

−

+

+

Signo de x − 6

−

−

+

Signo de (x + 2)(x − 6)

+

−

+

Buscamos todos los valores de x tales que (x + 2)(x − 6) ≤ 0. (x + 2)(x − 6) es menor que cero en
el intervalo (−2, 6) e igual a cero en x = −2 y en x = 6. Luego la soluci´on de ladesigualdad es el
intervalo [−2, 6].
Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad x2 < 3x.
´
SOLUCION.
Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresi´on resultante:
x2 < 3x
x2 − 3x < 0
x(x − 3) < 0.
Resolvemos la ecuaci´on x(x − 3) = 0. Obtenemos que x = 0 o x − 3 = 0 de donde se sigue que x = 0
o x = 3. Ahora construimos una tabla de signos.

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Intervalos

(−∞, 0) (0,3) (3, ∞)

Signo de x

−

+

+

Signo de x − 3

−

−

+

Signo de x(x − 3)

+

−

+

Buscamos todos los valores de x tales que x(x − 3) < 0. Esto ocurre en (0, 3).
Ejemplo 4. Resuelva la desigualdad 4x2 + 8x ≥ 5.
´
Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
SOLUCION.
expresi´on resultante:
4x2 + 8x ≥ 5
4x2 + 8x − 5 ≤ 0
(2x + 5)(2x − 1) ≤ 0.
Resolvemos laecuaci´on (2x + 5)(2x − 1) = 0. Obtenemos que 2x + 5 = 0 o 2x − 1 = 0. Luego x = − 52
o x = 12 . Ahora construimos una tabla de signos.
Intervalos

(−∞, − 25 )

(− 52 , 12 )

( 12 , ∞)

Signo de 2x + 5

−

+

+

Signo de 2x − 1

−

−

+

Signo de (2x + 5)(2x − 1)

+

−

+

Buscamos todos los valores de x tales que (2x + 5)(2x − 1) ≥ 0. (2x + 5)(2x − 1) es mayor que cero
en el intervalo (−∞, − 25 ) e...