31 Derivada

´
Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM.

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´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3. DERIVACION
3.1. LA DERIVADA
3.1.1. Derivada de una funci´
on en un punto
Sea y = f (x) una funci´on definida en un entorno del punto a ∈ R. Se dice que f es derivable en a si
existe y es finito el l´ımite
f (x) − f (a)
lim
x→a
x−a
que se llama derivada de f en a, y se representa por f (a).Haciendo el cambio de variable x = a + h en el l´ımite, se obtiene otra expresi´on para la derivada:
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
x→a
h→0
x−a
h

f (a) = lim

df
dy
Otras notaciones para la derivada de y = f (x) en a son: y (a), Df (a), dx
(a), dx
(a), ...
Intuitivamente, una funci´on es derivable en un punto si su gr´afica se traza alrededor del punto de
forma suave, es decir, sin cambiosbruscos de direcci´on.

3.1.2. Ejemplo
Halla la derivada de la funci´
on y = 1/x en x = 1.

3.1.3. Derivada y continuidad
Si una funci´on es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. El rec´ıproco no es cierto,
pues una funci´on puede ser continua y no derivable en un punto.
f (x) − f (a)
y, puesto que el deDemostraci´
on: Si f es derivable en a, entonces existe el l´ımite limx→a
x−a
nominador tiende a cero tambi´en lo ha de hacer el numerador, en cuyo caso lim f (x) = f (a) y la funci´on
x→a
es continua en a.
El rec´ıproco no es cierto pues, por ejemplo, la funci´on f (x) = |x| es continua en x = 0 y no es derivable:
−1 , si x → 0−
1
, si x → 0+

f (x) − f (0)
|x|
= lim
=
x→0
x→0 x
x−0
lim

=⇒ no existe el l´ımite =⇒ no existe f (0)

Observaci´
on: Como consecuencia delo anterior, si una funci´on no es continua en un punto no puede ser
derivable en dicho punto. Por tanto, antes de estudiar la derivabilidad de una funci´on, se debe estudiar
la continuidad.

3.1.4. Interpretaci´
on geom´
etrica de la derivada
La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto a, que se conoce
como pendiente de f en a.
y

s 
 

P 

f (x)
 
 f (a)

y

f

 

 

x→a
⇓
P →A
⇓
secante s → tangente t
x
⇓

f (x) − f (a)

A 

  x−a
 
 
a
x
O

Pendiente de la secante:

f (x) − f (a)
x−a

✡
t✡

✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
A✡
✡
✡
f (a)
✡
✡
✡
✡
✡
✡ a
O✡
✡

−→−→−→ Pendiente de la tangente: lim

x→a

f

x

f (x) − f (a)
= f (a)
x−a

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Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM.

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3.1.5. Rectas tangente y normal a una curva
Seaf una funci´on derivable en a. Puesto que la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente
a la gr´afica, y la recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente, se tiene que:
tangente

y

❅

❅

❅

f

 
 

Recta tangente a f en a:

 

❅

 
❅ 
 ❅
❅
 
❅
 
normal
❅
 
❅

y − f (a) = f (a)(x − a)

f (a)

 

O

Recta normal a f en a:
(si f (a) = 0)

y − f (a) =

−1
(x − a)
f (a)

xa

3.1.6. Ejemplo
Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´
afica de la funci´
on y =

1
en x = −3.
x+2

3.1.7. Derivadas laterales
La no existencia de derivada, o del l´ımite que en ella aparece, se debe con frecuencia a que los l´ımites
laterales son distintos. En estos casos, como en los que la funci´on s´olo est´a definida a uno de los lados
del punto, tiene sentidodefinir:
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
+
x−a
h
h→0
f
(a
+
h)
− f (a)
f
(x)
−
f
(a)
= lim
Derivada lateral por la izquierda: f (a− ) = lim
−
−
x−a
h
h→0
x→a
Derivada lateral por la derecha:

f (a+ ) = lim

x→a+

Obviamente, una funci´on definida en un entorno de un punto es derivable si y s´olo si existen las derivadas
laterales y ambas coinciden.
y
Cuando existen las derivadas laterales
pero nocoinciden, la funci´on no es
derivable. En este caso, la gr´afica de
la funci´on no tiene tangente en el punto,
pero s´ı tiene tangentes laterales y se
dice que presenta un punto anguloso.

❆
❆

❆

 
 

❆

 

❆

O

f

 
❆ 

a

x

Cuando la funci´on est´a definida en el extremo de su intervalo de definici´on, se llama derivada en ese
punto a la derivada lateral correspondiente.

3.1.8. Derivada...