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Sobre los números naturales, reales, imaginarios…
Santiago Domínguez Zermeño

No cabe duda que una de las facultades de los seres humanos desde los
albores de su existencia ha sido la capacidad de pensar, racionalizar y
abstraer. De no ser así, la humanidad no habría evolucionado hasta crear
y transformar el mundo en el que vivimos. Al pensar en esos primeros
hombres y mujeres podemos imaginarcómo habrán sido sus primitivos
métodos de observación: reconocían a otros hombres y mujeres, árboles,
animales y objetos. Antes de tener un lenguaje articulado y plenamente
desarrollado los primeros humanos podían asociar objetos con personas o
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grupos de personas: este es mi palo, esa es tu comida, esa es nuestra
cueva. Y ésta fue,quizás, la primera etapa de la numeración: se estableció
una correspondencia uno a uno entre un grupo de objetos y otro, o
incluso entre un conjunto de objetos y un conjunto de abstracciones o
ideas. En matemáticas, a esto se le conoce como correspondencia
biunívoca. Así, la capacidad de asociar llevó al humano a contar y
enumerar. Y entonces, con el desarrollo de un lenguaje articulado, se llegóal concepto de número: un concepto básico y fundamental para el
posterior desarrollo del edificio de las matemáticas.
Tenemos entonces que en las ciencias en general, en matemáticas y
en cualquier área del conocimiento que se preocupe por contar y medir,
se ocupan los números. Pero, en ocasiones no nos damos cuenta de que
existen distintas clases de números y que los usamos de manera diferentedependiendo de lo que contamos. Los números que usan un contador, un
programador y un físico teórico no son siempre los mismos. Veamos de
manera intuitiva cómo es que surgen algunos tipos de números, y por qué
es útil mantener esas distinciones.

Naturalmente, primero los naturales
Podemos decir que los números naturales son los más sencillos de todos.
Son aquellos que surgen directamente del procesode contar. Uno, dos,
tres, cuatro…un millón…etc. En el mundo de las matemáticas se les define
de manera breve como:
ℕ= {1, 2, 3, …}*

*

En algunas ocasiones resulta conveniente considerar al cero como elemento de N, pero en realidad no hay
una convención universal que indique si el cero es o no es un número natural. Para no causar confusiones lo
dejaremos fuera de los naturales y diremos queéstos empiezan en el 1.

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Los tres puntos nos indican que la lista sigue y sigue, sin acabar nunca.
En matemáticas los naturales son importantísimos, pues a partir de éstos
se construyen todas las otras clases de números, como veremos más
adelante.
Intuitivamente es fácil observar dos cosas del conjunto de los
naturales. La primera esque si elijo cualquier número natural, puedo
encontrar el siguiente que sea mayor al elegido: lo único que tengo que
hacer es sumarle 1. La otra cosa que podemos ver inmediatamente es que
el más pequeño de todos es el número 1. Estas dos cualidades nos llevan
a decir que son un conjunto generado por el elemento uno y el resultado
del proceso de ir sumando unos.
La anterior es una propiedadimportantísima de estos números, pues
nos da la capacidad de probar muchas cosas a través de un proceso
llamado inducción. Veamos a qué nos referimos con esto. Supongamos
que tenemos un conjunto muy grande, infinito, de números naturales, y
queremos ver que los números de este conjunto tienen una propiedad. Por
ejemplo, la de que si a todo número impar le sumamos uno conseguimos
un número par. Como elconjunto es infinito es claro que no podemos
verificar que cada número tenga la propiedad: ¡no acabaríamos nunca! Lo
que se hace entonces es probar por inducción que todos tienen esa
propiedad.
Básicamente lo que hay que hacer es seguir tres pasos. Primero, se
prueba que aplica para el elemento más chico del conjunto. Luego, se
hace la suposición de que el n-ésimo elemento (es decir, un...