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MATEMATICAS II Grupo 2
Curso 2.013-2.014

Actividad de Ecuaciones Diferenciales: Modelizaci´n y Resoluci´n
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1. Se ha estudiado el comportamiento de la App CityPlan en Zaragoza y se ha determinado que si x(t) es el n´mero de usuarios de la aplicaci´n en un instante de tiempo
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t (medido en meses), el incremento de usuarios es 0.55 veces proporcional a la cantidad de usuarios encada momento y al cociente (x + 3)/(x − 5) que corresponde
a tener al d´ la informaci´n de eventos de la ciudad, descuentos y promociones.
ıa
o
Cuando se abre la aplicaci´n en Valladolid el n´mero de usuarios es 23. ¿Cu´ntos
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u
a
usuarios habr´ al cabo de un a˜o?
a
n
2. Se sabe que cierta poblaci´n de bacterias se reproduce a una velocidad proporcional
o
a la diferencia entre unacantidad l´
ımite de 4 millones y el cuadrado de la cantidad
de las mismas en cada instante (en millones). Si inicialmente hab´ medio mill´n de
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bacterias y al cabo de una hora hab´ duplicado su n´mero, obtener la expresi´n
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del n´mero de bacterias (en millones) en funci´n del tiempo.
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o
3. Se ha descubierto que una bola de naftalina que ten´ originalmente un radio de 1/4
ıade pulgada, tiene un radio de 1/8 de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que
se evapora a un ´
ındice proporcional a su superficie, encontrar la expresi´n del radio
o
en funci´n del tiempo. ¿Cu´l ser´ su radio despu´s de un a˜o?
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a
a
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n
4. Un vino tinto se saca de una bodega que est´ a 10 grados cent´
a
ıgrados, y se deja
reposar en un cuarto con temperatura de 23 grados. Calcularla f´rmula que proo
porciona la temperatura del vino en funci´n del tiempo, si transcurren 10 minutos
o
para alcanzar la temperatura de 13 grados. (Se supone que se verifica la ley de
enfriamiento de Newton: la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es directamente
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea).
5. Un gran dep´sito contiene 1000 litros desalmuera en la que est´n disueltos 200 Kg
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de sal. A partir del instante t = 0 se introduce agua pura a raz´n de 3l/min y
o
la mezcla, que se supone que se mantiene homog´nea, sale del dep´sito a raz´n de
e
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o
2l/min. ¿Cu´nto tiempo se necesitar´ para reducir la cantidad de sal a la mitad?
a
a
6. Tres de los v´rtices de un rect´ngulo est´n sobre el eje OX, en el origen y sobre el
e
aa
eje OY . Si el cuarto v´rtice se desplaza sobre la gr´fica de una funci´n y = y(x)
e
a
o
en el primer cuadrante, de tal forma que el ritmo de cambio del ´rea del rect´ngulo
a
a
respecto de x es proporcional a dicha ´rea, determinar y(x).
a
7. Demostrar que las curvas del plano y = y(x) de clase 1 que verifican que la distancia
del origen a la tangente en cualquier punto de la curva seaigual a la abscisa de dicho
punto, satisfacen la ecuaci´n diferencial (y 2 − x2 ) dx − 2xy dy = 0. Hallar dichas
o
curvas.
Nota: La distancia de un punto P = (x0 , y0 ) a una recta r de ecuaci´n Ax+By+C =
o
|Ax0 + By0 + C|
√
. El problema es equivalente si se
0, viene dada por d(P, r) =
A2 + B 2
considera la distancia al cuadrado.
8. Un reactor transforma el uranio 238, que esrelativamente estable, en el is´topo de
o
plutonio 239. Despu´s de 15 a˜os se determina que 0.043% de la cantidad inicial
e
n
x0 de plutonio se ha desintegrado. Determinar el tiempo que tardar´ en reducirse
a
a la mitad el uranio si la rapidez de desintegraci´n es proporcional a la cantidad
o
restante.

9. Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un peque˜o
norificio en el tanque de 2 pulgadas cuadradas de area, presenta un escape. El tanque
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est´ inicialmente lleno de agua hasta los 3/4 de su capacidad. Utilizar el principio
a
de Torricelli con c = 1 para calcular la variaci´n de la altura del agua en el tanque
o
en el intante t. Determinar
(a) ¿Cu´ndo estar´ a la mitad de su capacidad?
a
a
(b) ¿Cu´ndo estar´ vac´
a
a
ıo?
10. Un tanque con...