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Ejercicios de Análisis Matemático
Continuidad y límite funcional
1. a) Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un intervalo.
b) Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no
sea continua.
c) Da un ejemplo de una función continua en todo R, no constante y cuya imagen sea un conjunto
(obligatoriamente un intervalo) acotado.
d) Da unejemplo de una función continua en Œ0; 1Œ tal que f .Œ0; 1Œ/ no sea acotado.
e) Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado y cuya imagen
sea un intervalo cerrado y acotado.
Solución. a) Una función continua cuya imagen no sea un intervalo no puede estar definida en
un intervalo. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos ejemplos. Como lafunción f W0; 1Œ[2; 3Œ! R dada por f .x/ D 1 para x 20; 1Œ y f .x/ D 2 para x 22; 3Œ. Es claro
que f es continua (usa, si quieres el teorema de localización para justificarlo en media línea) y
su imagen es el conjunto f1; 2g que no es un intervalo.

b) Aquí debes tener en cuenta que la función que buscas no puede ser monótona. Una vez que
caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos ejemplos.Como la función f W Œ0; 2 ! R
dada por f .x/ D 2x para x 2 Œ0; 1, f .x/ D x=2 para x 21; 2. Claramente f es discontinua en
x D 1, pero su imagen es el intervalo Œ0; 2.
1
c) Esto es muy fácil. Por ejemplo, la función f .x/ D
. Claramente, f .R/D0; 1.
1 C x2
1
d) Esto es muy fácil. Por ejemplo, f .x/ D
, x 2 Œ0; 1Œ. Claramente, f .Œ0; 1Œ/ D Œ1; C1Œ.
1 x
e) Por ejemplo, la restricción de lafunción seno al intervalo  ; Œ. Si quieres otro ejemplo
más elemental, puedes modificar de forma apropiada el ejemplo del punto b).

2. Prueba que si f W A ! R es continua en a entonces también lo es jf j. Da un ejemplo de función
discontinua cuyo valor absoluto es continua.
ˇ
ˇ
Demostración. Todo lo que se necesita es la desigualdad ˇjuj jvjˇ 6 ju vj. En nuestro caso
tenemos:
ˇ
ˇ
ˇjf .x/j jf.a/jˇ 6 jf .x/ f .a/j
Supuesto que f es continua en a, dado " > 0, existe ı > 0 tal que si ˇjx aj < ı y x 2ˇA entonces
jf .x/ f .a/j < " lo que, por la desigualdad anterior, implica que ˇjf .x/j jf .a/jˇ < " y, por
tanto, jf j es continua en a.
La función dada por f .x/ D 1 si x > 0 y f .x/ D 1 si x < 0 , es discontinua en 0 pero jf j
es continua en 0.
©

3. Estudia la continuidad de la función f WR ! R dada por f .x/ D E.x 2 /.

Demostración. Claramente f D E ı ' donde '.x/ D x 2 . Puesto que ' es continua en todo punto
y la función parte entera es continua en R n Z, deducimos por el teorema de composición de
2
funciones continuas, que f es continua
en todo punto
p
p a 2 R tal que '.a/ D a 62 Z. Es decir, f
es continua en R n B donde B D f n W n 2 Ng [ f
n W n 2 Ng [ f0g. Los puntos de Brequieren
un estudio particular pues, a priori, no podemos asegurar que f sea discontinua en ellos.
Empecemos estudiando la posible continuidad de f en 0. Es claro que para 1 < x < 1 tenemos
que 0 6 x 2 < 1 por lo que f .x/D0 para todo x 2 1; 1Œ. Es decir, la función fj 1;1Œ ( restricción
de f al intervalo  1; 1Œ) es la función constante igual a 0 y por tanto fj 1;1Œ es continua. Como
elintervalo  1; 1Œ es abierto deducimos, por el teorema de localización que f es continua en
 1; 1Œ y, en particular, f es continua en 0.

Dpto. de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático

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p
Consideremos ahora un punto de la forma q donde q 2 N (fijo en lo que sigue). Para todo
p
p
x 2 q 1; q Œ se tiene que q 1 < x 2 < q por lo que f .x/ D q 1. Cualquiera seaı > 0,
hay puntos
p
p
p
p
x 2 q ı; q C ıŒ\ q 1; q Œ
p
para los que jf . q/ f .x/j D jq .q 1/j D 1, por lo que tomando "0 < 1 deducimos que f
p
no es continua en q.
p
De forma análoga se prueba que f es discontinua en los puntos de la forma
q donde q 2 N. ©
4. Estudia la continuidad de la función f WR ! R, definida por f .x/DxE.1=x/ si x ¤0, f .0/D1.

Solución. El teorema de localización puede...