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Ingeniería Mecánica. Vol. 13. No.1, enero-abril de 2010, pag. 79-88

ISSN 1815-5944

Algoritmo para generar formulas de características geométricas de las
secciones planas, su implementación en DERIVE
Rolando Rivero-Galán
Recibido el 25 de septiembre de 2009; aceptado el 3 de marzo de 2010
Resumen
En la esfera del diseño de estructuras y de elementos de maquinas, se presenta con relativafrecuencia el cálculo de determinadas características o propiedades geométricas de secciones
planas, como son entre otras: el área de una sección transversal, el centro de gravedad, un
momento de inercia o más general la determinación de alguna característica geométrica definida
por una integral doble extendida en la región del plano que ocupa la sección, pieza o elemento.
El presente trabajo tiene comoobjetivo la confección de un programa para computadora,
utilizando el asistente matemático DERIVE, para la determinación de las características geométricas
de secciones planas cuyo contorno este constituido por segmentos de rectas.
Palabras claves: Algoritmo, sección plana, DERIVE, momentos, centro de gravedad.

Algorithm for the calculation of the geometric characteristics of the plane sectionsdefined for polygonal, their implementation in DERIVE
Abstract
In the sphere of the design of structures, is relative frequency the calculation of certain
characteristic or geometric properties of plane sections, like: the area of a traverse section, the
center of gravity, a moment of inertia or more general the determination of some geometric
characteristic defined by a double integral extended inthe region of the plane that occupies the
section, piece or element.
The present work has as objective the making of a program for computer, using the mathematical
assistant DERIVE, for the determination of the geometric characteristics of plane sections whose
contour this constituted by segments of right.
Key words: Algorithm, plane section, DERIVE, moments, center of gravity

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Algoritmo paragenerar formulas de características geométricas de las secciones planas, su implementación en DERIVE

1. Introducción.
Al obtener los modelos matemáticos o fórmulas
para describir el comportamiento de elementos de
máquinas o estructurales, sometidos a acciones
exteriores surge la necesidad de calcular
determinadas integrales dobles extendidas sobre
la sección transversal del elemento bajoanálisis
[1].

se desea calcular como una integral de línea a
través del contorno C que limita a la región R.
Para secciones con una densidad superficial de
masa constante e igual a la unidad, por ejemplo el
momento de inercia del área respecto al eje x está
dado por:

I x = ∫∫ y 2 dxdy
(4)

R

Entonces f ( x, y ) = y 2 ,
inmediatamente que,

de

(3),

se

tiene

∂Q( x, y ) ∂P ( x, y )
−
= y2
∂y
∂x
,haciendo Q ( x, y ) = 0
Figura 1. Región simplemente conexa orientada
positivamente
Sea R la región del plano simplemente conexa
limitada por el contorno C y orientada
positivamente, como se muestra en la figura 1,
entonces tiene lugar la formula:

r
∂Q ∂P
∫C F .dr =∫∫R ( ∂x − ∂y ).dxdy

1
P ( x, y ) = − y 3 + φ ( x )
3
Siendo φ una función arbitraria, por lo que se
tiene la formula.

Ix = −
(1)

rSiendo F = P ( x, y )i + Q ( x, y ) j , un campo
vectorial con componentes P ( x, y ) y Q ( x, y ) ,
continuas y con derivadas parciales continuas en
R UC .
Una propiedad o característica geométrica de una
sección plana que ocupa la región R del plano
XY , está dada por una integral doble extendida
en la región R de una cierta función f ( x, y ) que
modela la propiedad o característica, por lo quese tiene:

1 3
y dx
3 C∫

(5)

Con la formula (4) es posible calcular el momento
de inercia de la región mediante una integral de
línea a través del contorno [2].
Formulas similares se han obtenido para las
características geométricas de secciones planas,
por ejemplo para el cálculo de las coordenadas del
centro de gravedad de la región se emplean las
formulas:

∫ x dy
2

xc =

C

∫ − ydx + xdy...