4.1 Series (Finitas E Infinitas)

INDICE
Tema 4 - Series
Introducción………………………………………………………………………………………….3
4.1 - Series……………………………………………………………………………………………….4
4.1.1- Series Finitas…………………………………………………………………………………..5
4.1.2 - Series Infinitas…..……………………………………………………….………………….6
Ejemplos…………………………………………………………………………………………………..8

Introducción
Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serieinteresante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r+r^2+r^3+r^4+... donde... indica que la serie continúa indefinidamente.
Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuenciaque suma los primeros n términos:

Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera. Dos de las cuestiones más importantes sobre una serie son: ¿Converge? Si es así, ¿a dónde?
Por ejemplo, es fácil ver que para r > 1, la serie geométrica Sn (r) no converge a un número finito (es decir, diverge a infinito). Para veresto, notemos que cada vez que aumentamos el número de términos en la serie Sn (r) aumenta. Quizás un hecho más sorprendente e interesante es que para |r | < 1, Sn (r) converge a un valor finito.
Específicamente, es posible demostrar que:

4.1 Definición de Series
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an comodonde n es elíndice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, Las series convergen o divergen. Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge. Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).
- si L< 1, la serieconverge.
- si L> 1, entonces la serie diverge.
- si L= 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
Algunos Tipos De Series
*En una serie geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, r = 1/2:

*La serie armónica es la serie
La serie armónica es divergente.
*Una serie alternada es una serie dondelos términos cambian de signo:

*Una serie telescópica es la suma donde an = bn − bn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:
con =
4.1.1Serie finita
Las series finitas son las que constan de un determinado, o finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad.Así haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a^2± ½ b, el cociente tendrá muchos términos separados unos de otros con dichos signos, por consiguiente será una serie.
Si este cociente llegase a ser absolutamente exacto, de manera que no hubiese resta alguna, o lo que es lo mismo, multiplicado por el divisor, su producto seria finita, y se limitara a un determinado número de términos.De aquí es, que toda serie que extrae la potencia perfecta de una cantidad compuesta, debe ser finita, porque el número de términos, que extrae la potencia m+1, y siendo m un número entero determinado, también lo será m+1; de donde el número de términos, y la serie que extrae la potencias es finita. Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendodeterminada ley o condición, así por ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita.

Ejemplo:
Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}
f(1)= 2x1=2
f(2)= 2x2=4
f(3)= 2x3=6
f(4)= 2x4=8
(2,4,6,8)
f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m...