4 Cap 9 Sucesiones Y Series2 1

Cap 9 Sec 9.1 – 9.3





Una sucesión infinita es una función cuyo
dominio es el conjunto de los enteros
positivos.
Podemos denotar una sucesión como una
lista

a1 , a2 , a3 , … an , …
◦ Donde cada ak es un término de la sucesión y k
indica la posición del término en la sucesión.



La sucesión también se puede denotar como
un todo, describiendo una fórmula para el
término enésimo usando{an} .
EJEMPLO

1) 2,4,6,8,10, …
2) an  3n  1

Sucesiones Infinitas
1
DOMIINIO:
n

an
Alcance:

3

2

6

3

9

4

12

5…

EL DOMINIO SE COMPONE
DE LA POSICIÓN RELATIVA
DE CADA TÉRMINO.

EL ALCANCE SE
COMPONE DE LOS
15 … TÉRMINOS DE LA
SUCESIÓN.

La regla o ecuación de la sucesión anterior es

an = 3n,

donde an representa el enésimo término de la sucesión.
La forma enumerada de la sucesión seobtiene escribiendo los
términos de la sucesión
3, 6, 9, 12, 15 …

EJEMPLO

Escribe los primeros seis términos de la
sucesión:

an = 2n + 3.
Solución

a 1 = 2(1) + 3 = 5

Primer término

a 2 = 2(2) + 3 = 7

Segundo término

a 3 = 2(3) + 3 = 9

Tercer término

a 4 = 2(4) + 3 = 11

Cuarto término

a 5 = 2(5) + 3 = 13

Quinto término

a 6 = 2(6) + 3 = 15

Sexto término

EJEMPLO

Escribe los primerosseis términos de la
sucesión,

f (n) = (–2) n – 1 .
Solución

f (1) = (–2) 1 – 1 = 1
f (2) = (–2) 2 – 1 = –2

1er término
2ndo término

f (3) = (–2) 3 – 1 = 4

3ro término

f (4) = (–2) 4 – 1 = – 8

4to término

f (5) = (–2) 5 – 1 = 16

5to término

f (6) = (–2) 6 – 1 = – 32

6to término

Si los términos de una sucesión tienen un patrón
determinado entonces, podemos escribir el enésimo
término dela sucesión y su ecuación.
EJEMPLO Describe el patrón de la sucesión, escribiendo la

ecuación del enésimo término de la sucesión
Solución

1 1
1 1
− , ,− , ,…
3 9 27 81

n

términos

términos



1

2

1 ,
3

1 ,
1 ,

9
27

1

1 ,

3

3

2

1 ,

3

4

3

1 ,

3

5
 1
243

1
81
1

3

4

1

3

5

1
La ecuación del enésimo término es an = 
3

n

EJEMPLO

Describe el patrón de la sucesión,escribe la ecuación del
enésimo término de la sucesión. 2, 6, 12 , 20,….
Solución
1

2

3

4

5

términos

2

6

12

20

30

Rescribe
términos

1(2)

2(3)

3(4)

4(5)

5(6)

1(1 +1)

2(2 +1)

3(3 +1)

4(4 +1)

5(5 +1)

n

La ecuación del enésimo término es

f (n) = n (n+1).

Gráfica de una sucesión
Se puede graficar una sucesión representando
• en el eje horizontal, los números enteros
positivos(el dominio)
• los términos en el eje vertical (el alcance).
EJEMPLO
Trazar la gráfica de:

an = n2
Traza los puntos (1, 1),
(2, 4), (3, 9), . . . , (10,
100).

108
106
104
102
100
98
96
94
92
90
88
86
84
82
80
78
76
74
72
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2

an

Series 1

(10,100

(9,81)

(8,64)

(7,49)
(6,36)
(5,25)
(4,16)
(3,9)(1,1)

(2,4)
2

x
4

6

8

10




Grafiquemos la sucesión
Grafiquemos los pares
ordenados
n
n,
n1
para n = 1, 2, 3, …



n

n/(n+1)

1

1/2

2
3

2/3
3/4

4

4/5

10

10/11





Podemos definir una sucesión recursivamente
si declaramos…
◦ el primer término de la sucesión, a1 , y
◦ una regla para obtener cualquier término ak+1
partiendo del término anterior, ak , siempre y
cuando k ≥ 1 .

Estudiando los patrones que surgen en los
términos sucesivos, muchas veces podemos
construir una fórmula general para la
sucesión partiendo de la definición recursiva.

Ejemplo: Definimos
◦ a1 = 3 , y
◦ ak+1 = 2ak .

Los primeros términos de la sucesión an :

Una forma general sería,

Sumatorias y series
• La suma de todos los términos de una sucesión se
conoce como una sumatoria o una serie.
•Una sumatoria puede ser finita o infinita.
• Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma
parcial.
• Si la sumatoria es infinita se conoce como la serie de
la sucesión.
Sucesión

Sucesión infinita

3, 6, 9, 12, 15

3, 6, 9, 12, 15, . . .

Suma parcial

Serie infinita

3 + 6 + 9 + 12 + 15

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + . . .

...



Representamos la suma de los primeros m

términos de la sucesión...