4 EDOs

4. Soluciones de ecuaciones lineales
en series de potencias

(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

1

• Repaso de Series de Potencias
Recuerda de cálculo que una serie de
potencias en (x – a) es una serie de la forma


n
2
c
(
x

a
)

c

c
(
x

a
)

c
(
x

a
)

n
0
1
2

n 0

Se dice que es una serie de potencias
centrada en a.

2

• La serie converge
si existe el siguiente límite delas sumas parciales:
N
n
lim
S
(
x
)

lim
c
(
x

a
)
• Intervalo de convergencia
N  N
N    n 0 n
Es el conjunto de números reales x o intervalo
para los que la serie converge.
• Radio de convergencia
Si R es el radio de convergencia, la serie de
potencias converge para |x – a| < R y
diverge para |x – a| > R. Si R = 0 la serie converge
solo para x = a. Y si la serie converge para todo x,entonces escribimos R = ∞.
3

• Convergencia absoluta
Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de
potencias converge absolutamente. Es decir, la siguiente
serie converge:


n
|
c
(
x

a
)
|
 n0 n

• Prueba de convergencia (criterio del cociente)
Suponiendo cn  0 para todo n, y

cn 1 ( x  a) n 1
cn 1
lim
| x  a | lim
L
n
n 
n  c
c
(
x

a
)
• Si L < 1, la serien convergeabsolutamente;nsi L > 1, la
serie diverge; y si L = 1, el criterio no es concluyente.
Ch5_4

• Una serie de potencias define una función
cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie, donde es
n
continua, derivable eintegrable:

y ( x)  n 0 cn x



y ' ( x)  n 1 n x

n 1



, y" ( x)  n 2 n(n  1) x n  2

• Función analítica en un punto
Una función f(x) es analítica en unpunto a, si se
puede representar mediante una serie de
potencias en (x – a) con un radio de convergencia
positivo. Por ejemplo:
x x2
x3 x5
e 1    , sin x  x 
 
1! 2!
3! 5!
x2 x 4 x6
cos x 1 
 

2! 4! 6!
x

5

• Aritmética de series de potencias
Las series de potencias se pueden combinar
mediante operaciones de suma, resta,
multiplicación y división.
e x sin x


x 2 x3 x 4
1  x     x 
2 6 24


1 1
(1) x  (1) x 2      x3   
 6 2



x3 x5
x7


 
6 120 5040

1 1 4  1
1 1 5
 x  

 x 
6 6
 120 12 24 

3
5
x
x
x  x2  

3 30

6


n 2 n(n 

n 1
1)cn x n  2   
c
x
como una sola serie
n 0 n

Escribir 
de potencias (i.e., bajo el mismo sumatorio).

Solución
Primero, buscamos que ambos sumatorios comiencen porla
misma potencia:








n 2

n 0

n 3

n 0

n 2
n 1
0
n 2
n 1
n
(
n

1
)
c
x

c
x

2
．
1
c
x

n
(
n

1
)
c
x

c
x

n

n
n
2
n

Ahora cuando sustituimos el primer valor de n en ambos
sumatorios, las series comienzan potencias x1. Haciendo los
cambios de índice k = n – 2 para la primera serie y k = n + 1 para la
segunda serie:




k 1

k 1

2c2   (k  2)(k  1)ck 2 x k  ck  1 x k


2c2   [(k  2)(k  1)ck 2  ck  1 ]x k
k 1

Ch5_7

• Supongamos la ED lineal

a2 ( x) y  a1 ( x) y a0 ( x) y 0

que podemos escribir como

y  P( x) y Q( x) y 0
DEFINICIÓN

Se dice que un punto x0 es un punto ordinario o regular
de la ED si P(x) y Q(x) son analíticas en x0; es decir si
admiten desarrollos en serie de potencias alrededor de x 0.
Un punto que no esun punto ordinario es un punto
singular.
• Si P(x) y Q(x) son cocientes de polinomios: P(x) = a1(x)/a2(x),
Q(x) = a0(x)/a2(x), entonces x = x0 es un punto ordinario de nuestra
ecuación simplemente si a2(x0)  0.
8

Soluciones respecto a puntos ordinarios
TEOREMA

Existencia de soluciones
en series de potencias

Si x = x0 es un punto ordinario o regular, siempre es
posible hallar dos solucioneslinealmente independientes
en forma de series de potencias centradas en x0:


y  n0 cn ( x  x0 ) n
• Cada una de las dos soluciones linealmente independientes
en serie de potencias convergerá por lo menos dentro del
intervalo definido por |x – x0| < R, donde R es la distancia
desde x0 hasta el punto singular más próximo de la EDO.
9

Resolver
Solución

y"xy 0

P(x) = 0, Q(x) = x

No...