4 Factorizacion De Un Polinomio

TRABAJO PRÁCTICO IV

A: FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
B: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
C: ECUACIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS,
ECUACIONES DE SEGUNDO Y TERCER GRADO
Alicia Fraquelli de Fileni – Andrea Gache

~Trabajo Práctico IV~ 1

A: FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
Alicia Fraquelli de Fileni – Andrea Gache

~Trabajo Práctico IV~ 2

PARTE A: FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

Se llamafactorización de un polinomio al proceso de transformarlo en un producto de
otros polinomios, del menor grado posible.
Existen varios recursos para factorizar un polinomio:
Factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.
La propiedad distributiva dice: a.(b + c) = a.b + a.c
Si se pide factorizar la expresión a.b + a.c , aplicaremos la propiedaddistributiva o sea

a.b + a.c = a.(b + c)

Ejemplos:
ª 16a 2b 3 + 4ab 2c - 32a 4b 2c = 4ab 2 ( 4ab + c - 8a 3c)
ª 6x 2 y - 36x 3 yz + 18x 4 y 2 = 6x 2 y (1 - 6xz + 3x 2 y )
ª - a + 5b = -(a - 5b )

Trinomio cuadrado perfecto:
En este caso aplicamos: (a + b) 2 = (a 2 + 2ab + b 2 ) Ú (a - b) 2 = (a 2 - 2ab + b 2 )
Si se pide factorizar (a 2 + 2ab + b 2 ) entonces

(a 2 + 2ab + b 2 ) = (a + b) 2

2
2
2Si se pide factorizar (a 2 - 2ab + b 2 ) entonces (a - 2ab + b ) = (a - b)

Ejemplos:
ª x 2 + 14x + 49 = ( x + 7 ) 2
ª 9x 2 - 6xy + y 2 = ( 3x - y ) 2
ª 1 + 2 2a + 2a 2 = (1 + 2a) 2

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~Trabajo Práctico IV~ 3

Diferencia de cuadrados:
En este caso aplicamos: (a + b)(a - b) = (a 2 - b 2 )
Si se pide factorizar (a 2 - b 2 ) entonces (a - b ) = (a + b)(a -b)
2

2

Ejemplos:
ª x 2 - 49 = ( x + 7)( x - 7)
ª 9x 2 - 4y 2 = ( 3x + 2y )( 3x - 2y )

Cuatrinomio cubo perfecto:
En este caso aplicamos:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Ú (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
3
2
2
3
3
Si se pide factorizar a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 entonces a + 3a b + 3ab + b = (a + b)

3
2
2
3
3
Si se pide factorizar a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 entonces a - 3a b + 3ab -b = (a - b)

Ejemplos:
ª a + 6a + 12a + 8 = (a + 2)
3

2

3

ª - x 3 + 3x 2 - 3x + 1 = (- x + 1)3
ª 27m 3 + 108m 2 + 144m + 64 = ( 3m + 4) 3

Factorización de un polinomio por sus raíces
Sea P( x ) = an xn + an -1xn -1 + ... + a 2x 2 + a1x + a0 un polinomio real de variable real queda
factorizado mediante sus raíces reales de la siguiente forma:
P( x ) = a n ( x - x1 )( x - x 2 )( x - x 3 )...( x- x n )

donde an es el coeficiente principal y x1, x2, x3,…, xn son las raíces reales de P(x).

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~Trabajo Práctico IV~ 4

a) Polinomio de grado dos:
Cuando se trata de polinomios del tipo ax 2 + bx + c , siendo a Î Â , b Î Â , c Î Â
Se iguala el polinomio a cero ax 2 + bx + c = 0
aplicando: x1, 2 =

y se resuelve la ecuación

- b ± b 2 - 4ac
o sea seencuentran los ceros o raíces de la ecuación.
2a

Si b 2 - 4ac = 0 las raíces son reales e iguales
Si b 2 - 4ac > 0 las raíces son reales y distintas
Si b 2 - 4ac < 0 las raíces son complejas y conjugadas
2
Luego el polinomio factoreado es: ax + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 )

Ejemplos:
1
ª 4x 2 + 10x - 6 = 4( x - )( x + 3)
2
2
ª 2x + 4x - 30 = 2( x - 3)( x + 5)
ª - x 2 + 5x + 14 = - ( x + 2)( x -7)

b) Polinomio de grado superior a dos:
Utilizamos la regla de Ruffini y el teorema del resto, teniendo en cuenta el Teorema de
Gauss.
p
Una fracción irreducible es una posible raíz de un polinomio con coeficientes enteros
q
si el número p divide al coeficiente independiente y el número q divide al coeficiente
principal de dicho polinomio.
Si el polinomio es reducido, normal o mónico o sea an=1sus posibles raíces son los
divisores del término independiente.
Ejemplos:

ª x 3 + 2x 2 - 5 x - 6
Como es un polinomio reducido las posibles raíces son los divisores de su término
independiente: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Hallamos:
P(1) = (1)3 + 2(1)2 - 5(1) - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 ¹ 0 entonces 1 no es raíz
P( -1) = ( -1)3 + 2(-1)2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 entonces -1 es raíz

Alicia...