4 Matrices

´
CALCULO
MATRICIAL
Juli´an de la Horra
Departamento de Matem´aticas U.A.M.

1

Introducci´
on

En el cap´ıtulo dedicado a funciones de una variable, estudiamos el modelo
de evoluci´on geom´etrica, que constituye uno de los modelos m´as sencillos
de din´amica de poblaciones. Pero, muchas veces, estamos interesados en estudiar una poblaci´on estructurada en edades, es decir, estamos interesados
endistinguir, dentro de la poblaci´on, entre varios grupos de edad o generaciones. Por ejemplo, podemos considerar tres grupos de hembras: el grupo de
hembras j´ovenes que todav´ıa no son f´ertiles, el grupo de hembras en edad de
reproducirse, y el grupo de hembras que ya no son aptas para la reproducci´on.
En general, consideremos una poblaci´on en la que clasificamos a sus individuos en segmentoshomog´eneos de edad (generaciones). De cada grupo de
edad conocemos (aproximadamente) su tasa de supervivencia y su tasa de
natalidad. Nos interesar´ıa saber la forma en que evoluciona esta poblaci´on
(a partir de una determinada composici´on), y si se produce alg´
un tipo de
estabilizaci´on en su evoluci´on a largo plazo.
Este tipo de problemas van a poder ser abordados y estudiados, de manerarelativamente sencilla, mediante el c´alculo matricial, es decir, utilizando el
modelo matem´atico de las matrices y sus herramientas asociadas.
Por este motivo, en este cap´ıtulo estudiaremos, en primer lugar, el concepto de matriz y sus operaciones b´asicas. Utilizaremos la estructura matricial para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, y estudiaremos
los conceptos de autovalores yautovectores. Finalmente, aplicaremos todas
estas herramientas al estudio de la din´amica o evoluci´on de poblaciones, y a
las cadenas de Markov.

2

Matrices

Definici´
on.- Una matriz m × n es un modelo matem´atico que proporciona
una ordenaci´on rect´angular de n´
umeros organizados en m filas y n columnas:




a11 ... a1n

... 
A = (aij ) =  ... ...

am1 ... amn

1

Una matriz cuadradaes la que tiene el mismo n´
umero de filas que de
columnas. •
Operaciones con matrices:
(a) Si queremos multiplicar un n´
umero por una matriz, se multiplica
el n´
umero por cada elemento de la matriz. Por ejemplo:








3
5 −1
6 10 −2


3 
6 
2  2 −1

 =  4 −2
4
2 −3
8
4 −6
(b) Si queremos sumar dos matrices, se suman elemento a elemento.
Por ejemplo:












3
5 −1
6 10−2
9 15 −3



3 
6 
9 
 2 −1
 +  4 −2
 =  6 −3

4
2 −3
8
4 −6
12
6 −9
Para poder sumar dos matrices es necesario que tengan las mismas dimensiones.
(c) El producto de dos matrices es algo m´as complicado. Supongamos
que A = (aik ) es una matriz m × l y que B = (bkj ) es una matriz l × n.
Entonces, C = AB es una matriz m × n tal que:
l

cij =

aik bkj .
k=1

De manera resumida (y menosprecisa) podemos decir que el elemento ij
de la matriz producto se obtiene de multiplicar la fila i de la primera matriz
por la columna j de la segunda matriz.
Por ejemplo, supongamos que


A=

3
5 −1
2 −1
3

y



6 10


B =  4 −2  .
8
4

Entonces:

C = AB =

(3)(6) + (5)(4) + (−1)(8)
(2)(6) + (−1)(4) + (3)(8)
2

(3)(10) + (5)(−2) + (−1)(4)
(2)(10) + (−1)(−2) + (3)(4)

30 16
32 34
Para podermultiplicar dos matrices es necesario que el n´
umero de columnas de la primera coincida con el n´
umero de filas de la segunda. El orden de
multiplicaci´on importa. En el ejemplo anterior, BA habr´ıa sido una matriz
con 3 filas y 3 columnas. Otras veces es posible hallar AB pero no BA.
=

(d) La inversa de una matriz cuadrada A es una matriz cuadrada A−1
(de las mismas dimensiones) tal que:
AA−1 =A−1 A = I,
donde I es la matriz identidad (matriz con unos en la diagonal principal y
ceros en el resto).
Comprobar si una matriz es o no es la inversa de otra es relativamente
f´acil: basta con multiplicarlas y ver lo que sale. Sin embargo, hallar la inversa
de una matriz es m´as complicado y bastante m´as pesado. M´as adelante se
dar´a un algoritmo sencillo para obtener la inversa, que...