4 MEDIDAS DE DISPERSION

MEDIDAS DE DISPERSION

n

S2 

2
X
 i  nX
i 1

n

2

4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
I. DATOS NO AGRUPAOS.
Todos los valores representativos discutidos en las secciones
precedentes, han sido una especie de promedio o medida de
posición. Sin embargo, el uso de un solo valor para describir
una distribución oculta muchos hechos importantes.
Por ejemplo, dos grupos separados de datos pueden contener
lamisma media, pero un grupo puede estar más disperso o
esparcido alrededor del valor promedio que el otro.
Por lo que es necesario una medida de la dispersión,
esparcimiento o variación para ayudar a definir más
completamente la distribución.

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A. AMPLITUD TOTAL (A)

Se define como la diferencia entre el valor máximo
(Vmáx) y el valor mínimo (Vmín), es decir:

A = Vmáximo – Vmínimo04/01/2015

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AMPLITUD TOTAL:
Representa la medida de variación más simple y la que
presenta mayor valor intuitivo.
Una desventaja de la amplitud como medida de variación es
su medida a aumentar a medida que aumenta el tamaño de la
muestra (número de observaciones).
Sería deseable que para medir la variación, dicho valor
permanezca lo más estable posible, independiente del número
deobservaciones. Además, sobre una base intuitiva, la
amplitud sólo utiliza las dos observaciones extremas
desestimando toda la información relacionada con la
variación que puede obtenerse a partir de las restantes
observaciones.
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Ejemplo 1:
Determinar la amplitud de la siguiente serie de datos:
139, 149, 159, 179
De acuerdo a la definición, se tiene que el Vmáx = 179 y el
Mmin = 139, porconsiguiente:
A = 179 – 139 = 40
A veces se acostumbra mencionar solamente el valor mínimo
y el valor máximo. En relación a nuestro ejemplo, tenemos
que los datos están muy concentrados o apiñados en dicho
intervalo.

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B. VARIANZA (S2)Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S)
La varianza es una medida de dispersión que cuantifica la
variabilidad de los datos con respecto a la media aritmética. Se
definecomo el promedio de las desviaciones al cuadrado de cada
uno de los datos con respecto a la media.
Simbólicamente podemos expresarlo como:
Dado un conjunto de n datos X1, X2, ..., Xn con una media
aritmética

S 
2

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2


X

X
 i
i 1

n

n

n

n

s 
2

2


X

X
 i
i 1

n -1

X

X
i 1

i

n

6

Propiedades de la varianza:
a) El valor de la V (X) es mayor o igual que cerocualquiera
sea su distribución.
b) La varianza de una variable que toma el mismo valor es
cero.
c) La varianza de la suma de una variable y una constante
es igual a la varianza de la variable V (X + K) = V (X).
d) La varianza del producto de una constante por una
variable es igual al producto del cuadrado de la constante
por la varianza de la variable V (kX) = k2 V (X).
e) Consideremos un ejemploque nos permita demostrar las
propiedades mencionadas anteriormente

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Fórmula de la varianza:
n

S2 

2


 Xi  X
i 1

n
n

S2 

X
i 1



  Xi 
n
2
 i 1 
X


i
n
2
i 1
S 
n
n

2
i

 nX

n

2

2

Las tres fórmulas anteriores nos conducen al mismo resultado

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Ejemplo 2:
Consideremos la siguiente serie de datos:
4, 7, 8, 3, 5, 9, 10, 2
Se pide calcularla varianza de este conjunto de datos.
Solución
Tomando la fórmula (1) de la varianza, primero la media
aritmética, es decir:

4  7  8  3  5  9  10  2 48
X
 6
8
8
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Aplicando la formula:
Ahora encontraremos la varianza de acuerdo a la
definición:
n

S2 

 X  X 
i 1

2

i

n

2
2
2
2
(4

6)

(7

6)

(8

6)

...

(2

6)
2
S 
8
60
2
S   7.5
8
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10Usando las otras formulas:
a.- Utilizando la fórmula (2) de la varianza, primero
encontramos:
X

X2

4

16

7

49

8

64

3

9

5

25

9

81

10

100

2

4

48

348

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2
348

8
*
6
348  288
2
S 

 7.5
8
8

b.- Utilizando la fórmula (3) de la varianza,
tomando los mismos resultados hallados
previamente para la fórmula (2), es decir:
2
348

48
/8 60
2
S 
  7.5
8
8
11

Varianza...