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RAÍCES REALES DE ECUACIONES NO-LINEALES

Sea f: R→R. Dada la ecuación f(x) = 0, se debe encontrar un valor real r tal que f(r) = 0.
Entonces r es una raíz real de la ecuación
Si no es posible obtener la raíz directamente, entonces se debe recurrir a los métodos numéricos
iterativos para calcular r en forma aproximada con alguna precisión controlada. Se han creado
muchos métodos numéricospara resolver este problema clásico, pero con el uso de
computadoras para el cálculo, conviene revisar solamente algunos de estos métodos que tengan
características significativamente diferentes.

3.1

Método de la bisección

Sea f: R→R. Suponer que f es continua en [a, b], y que además f(a) y f(b) tienen signos
diferentes. Por continuidad, el intervalo (a, b) contendrá al menos una raíz real.
Elsiguiente teorema establece la existencia de la raíz r:
Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en un intervalo [a, b] y f(a) tiene signo
diferente que f(b), entonces existe por lo menos un punto r en (a, b) tal que f(r)=0.
Si además f'(x) no cambia de signo en el intervalo [a, b], entonces la solución es única.
El método de la bisección es un método simple y convergente para calcular r.Consiste en
calcular el punto medio c=(a+b)/2 del intervalo [a, b] y sustituirlo por el intervalo [c, b] ó [a, c]
dependiendo de cual contiene a la raíz r. Este procedimiento se repite hasta que la distancia
entre a y b sea muy pequeña, entonces el último valor calculado c estará muy cerca de r.
Interpretación gráfica del método de la bisección

En la figura se puede observar que luego de habercalculado c, para la siguiente iteración debe
sustituirse el intervalo [a, b] por [c, b] debido a que f(a) y f(c) tienen igual signo y por lo tanto la
raíz estará en el intervalo [c, b]
3.1.1

Convergencia del método de la bisección

Sean

ai, bi, ci los valores de a, b, c en cada iteración i=1, 2, 3, . . . respectivamente

El método de la bisección genera una sucesión de intervalos [a, b], [a1, b1],[a2, b2], …, [ai, bi]
tales que a ≤ a1 ≤ a2 … ≤ ai constituyen una sucesión creciente y b ≥ b1 ≥ b2 …, ≥ bi una
sucesión decreciente con ai < bi. Además por definición del método: ci, r ∈ [ai, bi] en cada
iteración i

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Sean

di = bi – ai longitud del intervalo [ai, bi] en la iteración i=1, 2, 3, . . .
d = b – a longitud del intervalo inicial

Recorrido de las iteraciones
Iteración
1
2
3
4
...i

Longitud del intervalo
d1 = d /2
2
d2 = d1/2 = d/2
3
d3 = d2/2 = d/2
4
d4 = d3/2 = d/2
...
i
di = d/2

Entonces
d
→ 0 ⇒ di → 0 ⇒ ai → bi ⇒ ci → r ⇒ ∃i>0 | ci − r |< ε para cualquier valor positivo ε
2i
i→∞
i→∞
i→∞
i→∞

Suponer que se desea que el último valor calculado ci tenga precisión E = 0.001, entonces si el
algoritmo termina cuando bi – ai < E, se cumplirá que |ci – r| < E y ci será unaaproximación
para r con un error menor que 0.0001
Ejemplo. Calcule una raíz real de f(x) = x e - π = 0 en el intervalo [0, 2] con precisión 0.01
x

La función f es continua y además f(0)<0, f(2)>0, por lo tanto la ecuación f(x)=0 debe contener
alguna raíz real en el intervalo [0, 2]
Cálculo manual para obtener la raíz con el método de la Bisección
iteración
inicio
1
2
3
4
5
6
7
8

a
0
1
1
1
11.0625
1.0625
1.0625
1.0703

b
2
2
1.5
1.25
1.125
1.125
1.0938
1.0781
1.0781

c
1
1.5
1.25
1.125
1.0625
1.0938
1.0781
1.0703
1.0742

sign(f(a))
-

sign(f(c))
+
+
+
+
+
-

En la última iteración se observa que el intervalo que contiene a la raíz se ha reducido a
[1.0703, 1.0781], por lo tanto el último valor calculado de c = 1.0742 debe estar cerca de r con
una distancia no mayor a 0.01

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3.1.2Eficiencia del método de la bisección

Suponer el caso más desfavorable, en el que r está muy cerca de uno de los extremos del
intervalo [a, b]:
Sean

error en la iteración i
Ei = r − ci :
Ei+ 1= r − ci+ 1 : error en la iteración i+1

En cada iteración la magnitud del error se reduce en no más de la mitad respecto del error en la
1
iteración anterior: Ei+ 1 ≤ Ei . Esta es una relación lineal. Con la...