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Observabilidad
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Introducción
Definiciones
Observabilidad en sistemas lineales
Observabilidad en sistemas lineales e
invariantes.

– Subespacio no-observable
– Subsistema observable
– Separación del subsistema
controlable y observable

U.P.M.-DISAM

P. Campoy

Control en el Espacio de Estado

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Introducción
• Concepto: "observar" el estado del
sistema a partir de su relaciónentrada-salida.
u(t)

y(t)
Sistema
x(t)

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Observabilidad: ejemplo
R1C1

u

R2C2

R1

R2

C1

C2

uc2

x(t)

uc1
y=x1-x2

• ¿se puede conocer x(t) conocido y(t)=x1(t)-x2(t) ?
• en el supuesto R1C1≠R2 C2: ¿se puede conocer x(t0) conocido
y(τ)=x1(τ)-x2(τ) para t0<τ≤t? o bien ¿cada estado inicial
distinto genera una salida distinta?
• ¿y siy(t)=3x1(t)-5x2(t)?
• ¿y para R1C1=R2C2? ¿existen estados en los que y(t)=0?
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Definiciones: (1/1)

observabilidad de un punto del estado
• x0 es observalable en [to,t1], si y sólo si partiendo de
x(t0)=x0, el conocimiento de la entrada u(τ) y la salida
y(τ) en el intervalo to ≤ τ ≤t1, permite asegurar que
x(t0)=x0
• x0 es observalable, si y sólo sipara todo instante
inicial t0 existe un intervalo finito [to,t1], tal que x0 es
observable en [to,t1].

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Definiciones: (1/2)

observabilidad de un sistema
• Un sistema es observalable en [to,t1], si y
sólo si todos los puntos del espacio de
estado son observalables en [to,t1],
• Un sistema es observalable si y sólo si
todos lospuntos del espacio de estado
son observalables

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Observabilidad de sistemas
lineales: introducción
• En un sistema lineal e invariante:
t

y( t ) = C( t )x( t ) + D( t )u( t ) = C( t )!( t, t 0 )x 0 + " C( t )!( t,# )B(# )u(# )d# + D( t )u( t )
t0

agrupando términos que no dependen de x0:
t
(
y( t ) # y( t ) " $ C( t )!( t,% )B(% )u(% )d% +D( t )u( t ) = C( t )!( t, t 0 )x 0
t0

con lo que el objetivo de la observabilidad es el cálculo de
(
x0 a partir de y( t ) o salida del sistema ante entrada nula

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Observabilidad de sistemas
lineales: teorema
• Dado el sistema:

x& ( t ) = A( t )x( t ) + B( t )u( t )

y( t ) = C( t )x( t ) + D( t )u( t )
es observalable en [to,t1] siy solo si el
gramiano de observabilidad V(to,t1) es
invertible, definido como:
t1

V( t1, t 0 ) = ! " T (# , t 0 )C T (# )C(# )"(# , t 0 )d#
t0

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Observabilidad de sistemas
lineales: demostración
∃ V-1(t1,t0) ⇔ sistema observalable en [t0,t1]
• suficiente (⇒) :

t1

(
x 0 = V ( t1, t 0 ) ! " T ($ , t 0 )C T ($ )y($ )d$
#1

t0

 portanto se puede calcular el estado inicial x0
• necesaria (⇐):

si no existe V-1(t1,t0) entonces partiendo de x(t0) igual al
el vector propio de V asociado al valor propio 0, se
(
obtiene: y( t1 ) = 0

 por

tanto existen estados cuya salida es
indistinguible con la salida desde el origen

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Observabilidad de sistemas
lineales: estadosno-observables
• definición: estados no-observables son aquellos a
partir de los cuales su salida es
permanentemente nula ante entrada nula

(
y( t ) = 0

!t > t 0

• si existen estados no-observables, ningún estado
del sistema es observable
• si el sistema no es observable, existen estados
no-observables

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Observabilidad de sistemaslineales e invariantes: teorema
• Dado el sistema:
x& ( t ) = Ax( t ) + Bu( t )
y( t ) = Cx( t ) + Du( t )
es observable si y solo si la matriz P es de
rango máximo (n).
& C #
$ CA !
$
!
P = $ CA 2 !
$
!
$ M !
$%CA n'1 !"
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Observabilidad de sistemas lineales
e invariantes: demostración
rango (P) = n ⇔ sistema es observable
• necesario...