4_Proposiciones Sintaxis

LÓGICA PROPOSICIONAL
LOGICA
II
PROPOSICIONES

Símbolos primitivos
Reglas de formación
Formulas bien formadas en LP
Funciones de verdad y reglas semánticas

SABY LAZARTE

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Saby Lazarte

Lógica

LÓGICA PROPOSICIONAL

• 1. SÍMBOLOS PRIMITIVOS:
•
•
•
•

Variables: p, q, r, …, etc.
Operadores: ~, ٨, ٧, →, ↔
Símbolos auxiliares: ( , ); { , }; [ , ]; .; ..;
Metavariables: Símbolos de metalenguaje:A, B, C, …, etc.

Las variables proposicionales se usan para
simbolizar variables. De ser el caso, se
usan junto con los operadores lógicos.
Ejemplos:
La tierra es redonda:
p

p

La tierra no es redonda:

~p
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Saby Lazarte

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La tierra es redonda y hoy es martes:
p
q

p⋀q

Las metaviariables, como su nombre lo indica, son fórmulas
que simbolizan otras fórmulas.Constituyen un
metalenguaje. Ejemplos:
p
se puede simbolizar por
A
p→q
se puede simbolizar por
B

Si estudio entonces aprobaré:
p
q

p→q

(p → q ) ⋀ q

se puede simbolizar por

A⋀B

Los símbolos auxiliares sirven para agrupar fórmulas.
Ejemplos:

Viajarán si y sólo si tienen pasajes:
p

p↔q

(p → q ) ⋀ q

q

[ (p → q) ⋀ q ] v ~ p
{ [ (p → q) ⋀ q ] v ~ p } → (p → r)
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Saby Lazarte

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SabyLazarte

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LÓGICA PROPOSICIONAL
Al usar los símbolos de agrupación establecemos la
jerarquía de los operadores.

2. REGLAS DE FORMACIÓN:

A veces, se combina el uso de los símbolos auxiliares con
los puntos auxiliares. Lo cual permite prescindir de la
necesidad de utilizar muchos símbolos auxiliares.

• Cada variable proposicional por sí sola es
una fbf.
• Sí A es una fbf, entonces ~(A) es unafbf.
• Sí A y B son fbf, entonces (A ٨ B), (A ٧ B),
(A → B) y (A↔B) Son fbfs.

Ejemplo:
[ (p → q) ⋀ q ] v ~ p . →. p → r
Esta fórmula equivale a la que aparece arriba.
Con este lenguaje tenemos el instrumento necesario para
simbolizar y construir fórmulas. Pero para construirlas
deberemos tomar en cuenta determinadas a reglas, las que
veremos a continuación.

• No hay más fórmulas bien formadas quelas mencionadas..

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REGLAS DE FORMACIÓN DE
FÓRMULAS LÓGICAS.

Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica:

Una fórmula lógica es una fórmula bien formada (FBF). Es una cadena
de signos construida según las reglas establecidas por la sintaxis lógica.
Puede ser:
- fórmula atómica o
- fórmula molecular.
Una fórmula es atómica cuando no contiene entresus símbolos a
ningún operador y puede ser representada por una variable
proposicional. Una fórmula es molecular cuando contiene entre sus
símbolos por lo menos un operador.
La sintaxis estudia las reglas de transformación
de los diversos lenguajes, o sea, las indicaciones que
rigen las transformaciones admisibles de unas fórmulas en otras.

• Regla 1: Toda variable proposicional es una FBF.
•Regla 2: Si A es una FBF, entonces ~ (A) es
también una FBF.
• Regla 3: Si A y B son FBF, entonces A ⋀ B, A v B,
A → B y A ↔ B son igualmente FBF.
• Regla 4: Ninguna otra fórmula es una fbf en LP.

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EJERCICIOS:
a) p → (p ⋀ r)
• Regla 5: Una FBF tiene un nombre y éste
depende de su operador de mayor jerarquía.
• Regla 6: El operador de mayor jerarquíaes
aquel que está libre de los signos de
agrupación: '( ) ', '[ ]' y '{ }'.
• Regla 7: Los signos de agrupación se usan sólo
cuando su omisión hace ambigua una fórmula,
es decir, una fórmula susceptible de una doble
interpretación.

Es una FBF en virtud de R5. Se llama condicional por R7.

b)

pvq⋀r→s
No es una FBF, es ambigua.

c)

p ~q
No es una FBF, viola la R3.

d)

p ⋀ ~q
Sí es una FBF, envirtud de la R5 se llama conjunción.
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FUNCIONES DE VERDAD Y REGLAS SEMÁNTICAS:
NEGACIÓN

FUNCIONES DE VERDAD Y REGLAS SEMÁNTICAS:
CONJUNCIÓN

p ٨ q

~P
FV
VF

V(~A)
F(A)

F(~A)
V(A)

V
V
F
F

V
F
F
F

V( A ٨ B)

V
F
V
F

V (A)
V (B)

F(A ٨ B)

PROPIEDADES:
• CONMUTATIVA:
A ٨B=B٨A
• ASOCIATIVA:
A ٨ (B ٨ C) = (A ٨ B) ٨
C
• IDEMPOTENTE:
A ٨ A = A...