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Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes

DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3

El determinante de una matriz de 𝑛 × 𝑛 (es decir, de matrices estrictamente cuadradas)
es un valor escalar que se calcula con base en los elementos de dicho arreglo matricial. Es
importante que uses lo que aprendas sobre los determinantes de orden 2 y 3 para poder
definir determinantes de orden superior.Determinantes de orden 2
𝑎11
Sea una matriz A tal que 𝐴 = [𝑎

21

𝑎12
𝑎22 ]. El determinante de dicha matriz está dado por:

det 𝐴 = |𝐴| = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
Observa que ambos productos no son otra cosa que el producto cruzado de los elementos
de la matriz; de ahí que otra forma de calcular un determinante de orden 2 sea
multiplicando los elementos en diagonal como se muestra:
𝑎
|𝐴| = |𝑎11

21

𝑎12 =−𝑎21 𝑎12
𝑎22 | = 𝑎11 𝑎22

Nota que el producto de los elementos de la flecha que va hacia arriba se multiplica por
−1, mientras el producto de los elementos que van hacia abajo no se alteran.

Ejemplo 1.
−2 4
Si 𝐴 = [
], calcula |𝐴|.
5 3
Solución.
|𝐴| = |

−2 4 = (−)(5)(4)
|
5 3 = (−2)(3)

det 𝐴 = |𝐴| = −6 − 20 = −26

Laura Alejandra Bonilla Ramos

1

Sistemas de ecuaciones lineales, matrices ydeterminantes

Determinantes de orden 3
𝑎11
𝑎
Sea una matriz A tal que 𝐴 = [ 21
𝑎31
por:

𝑎12
𝑎22
𝑎32

𝑎22
det 𝐴 = |𝐴| = 𝑎11 |𝑎
32

𝑎13
𝑎23 ]. El determinante de dicha matriz está dado
𝑎33

𝑎23
𝑎11
−
𝑎
|
|
12
𝑎33
𝑎31

𝑎13
𝑎21
+
𝑎
|
|
13
𝑎33
𝑎31

𝑎22
𝑎32 |

Observa que para el cálculo de un determinante de orden 3 está implícito el cálculo de
tres determinantes de orden 2; nota también que cada uno delos elementos que
multiplican a los determinantes de orden 2 son los que pertenecen al primer renglón de la
matriz. Cada uno de los determinantes de orden 2 están formados por los elementos de la
matriz que restan de eliminar el renglón y la columna al que pertenece el factor que los
antecede, es decir, cuando el factor es 𝑎11 , los elementos del determinante de orden dos
que lo suceden sonaquellos que restan de eliminar la primera columna y el primer renglón,
𝑎22 𝑎23
es decir, |𝑎
| ; cuando se toma 𝑎12 , se eliminan el primer renglón y la segunda
32 𝑎33
𝑎11 𝑎13
columna, teniendo |𝑎
| y finalmente al tomar 𝑎13 se elimina el primer renglón y la
31 𝑎33
𝑎21 𝑎22
tercera columna, obteniendo |𝑎
|.
31 𝑎32
Es importante que no pases por alto el signo (−) en el término del medio y que loconsideres
en todos los cálculos de determinantes de orden 3 [NOTA: Cuando se revise el cálculo de
determinantes de orden n, deducirás el por qué del signo menos en el segundo término].
Existe otra manera de calcular los determinantes de orden 3: usando un método de
multiplicación en diagonal (con flechas) semejante al que se analizó en el cálculo de los
determinantes de orden 2.
𝑎11 𝑎12 𝑎13
Dada 𝐴 = [𝑎21𝑎22 𝑎23 ], se forma una nueva matriz agregando los dos primeros
𝑎31 𝑎32 𝑎33
renglones al final de A:
𝑎11
𝑎21
𝐴 = 𝑎31
𝑎11
[𝑎21

Laura Alejandra Bonilla Ramos

𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22

𝑎13 = (−)𝑎31 𝑎22 𝑎13
𝑎23 = (−)𝑎11 𝑎32 𝑎23
𝑎33 = (−)𝑎21 𝑎12 𝑎33
𝑎13 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33
= 𝑎21 𝑎32 𝑎13
𝑎23 ]
= 𝑎31 𝑎12 𝑎23

2

Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes

Ejemplo 2.
2 −1 4
Si 𝐴 = [0 1
5 ],calcula |𝐴| por ambos métodos:
6 3 −4
Solución.
Siguiendo el primer método:
det 𝐴 = |𝐴| = 2 |

0 1
1 5
0 5
| − (−1) |
|+ 4|
|
6 3
3 −4
6 −4

det 𝐴 = |𝐴| = 2 |

0 1
1 5
0 5
| − (−1) |
|+ 4|
|
6 3
3 −4
6 −4

Para seguir adelante, es necesario calcular los tres determinantes de orden 2 que se
presentan (consulta el tema determinantes de orden 2).
det 𝐴 = |𝐴| = 2(−19) + 1(−30) + 4(−6)
det 𝐴 = |𝐴| = −92Ahora, siguiendo el segundo método:
2
0
|𝐴| = ||6
2
0

= (−)(6)(1)(4)
−1 4
= (−)(2)(3)(5)
1
5 = (−)(0)(−1)(−4)
3 −4||
= (2)(1)(−4)
−1 4
= (0)(3)(4)
1
5
= (6)(−1)(5)

det 𝐴 = −24 − 30 − 8 − 30
det 𝐴 = |𝐴| = −92

DETERMINANTES DE ORDEN N
Para el cálculo de determinantes de orden superior a 3, es necesario aprender dos
conceptos: menor de una matriz y cofactor de una matriz.
El menor 𝑀𝑖𝑗 de una...