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4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL 
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espaciovectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, enprimer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacío de H deun espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacioi)                  Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
ii)               Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, parademostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidasen V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva ymultiplicativa [axiomasii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:
x + y y αX estánen H cuando x y y  están en H y α es un escalar.


PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
 
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, paracada u y v en   
      H, la suma u + v está en H.
 
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
     u en H y  cada escalar c, el vector cu está...