4
Páginas: 5 (1234 palabras)
Publicado: 29 de octubre de 2015
1
PROPÓSITO DE LA CLASE
Define e Identifica elementos de la
elipse y sus correspondientes
ecuaciones.
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
NUEVO PUENTE GIRALDEZ
3,20 m
3,20 m
26 m
DEFINICION
Es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de tal manera
que la suma de sus distancias ados puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es
y
siempre igual a una constante 2a.
P
F1
F2
PF1 + PF2 = 2a
x
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
LN
L1
P
B1
E1
V1
F1
L2
D1
N2
0
E2 D
2
F2
N1
B2
L1 y L2 : Ejes directrices
V1 y V2 : Vértices
LF : Eje focal
F1 y F2 : Focos
LN : Eje normal
N1N2 : Lado Recto
0 : centro de la elipse
E1E2 : Cuerda focal
V2
LF
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
LN
L1
PB1
E1
V1
F1
D1
N2
F2
0
E2 D
2
D1D2
L2
: Diámetro
PF1 y PF2 : Radio vector
N1
B2
V1V2 : Eje mayor
B1B2 : Eje menor
F1F2 : Segmento focal
V2
LF
RELACIONES FUNDAMENTALES
B1
a
b
c
V1
F1
0
(c, 0) F2
V2
B2
01
Se tiene:
02
La relación entre
a, b, c es:
Longitud del eje mayor : V1V2 = 2a
Longitud del eje menor : B1B2 = 2b
Longitud del segmento focal: F1F2 = 2c
a2 = b2 + c2 RELACIONES FUNDAMENTALES
B1
N1
V1
F1
0
F2
V2
N2
B2
03
Un elemento importante de la elipse es
su excentricidad que se representa por
“e” y se define así:
04
La longitud del lado recto es:
RELACIONES FUNDAMENTALES
LN
L1
D1
V1
La distancia entre las rectas directrices es:
0
L2
V2
D2
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANÓNICA
a) Elipse de centro en el origen y eje focal el eje“X”
y
L1
L2
B1
V1
F1
C(0;0)
B2
Las ecuaciones de sus directrices son:
Además:
F2
V2
x
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANÓNICA
b) Elipse de centro en el origen y eje focal el eje “Y”
y
L1
V1
Las ecuaciones de sus directrices son:
F1
B1
C(0;0)
B2
x
F2
Además:
Centro:
V2
L2
Focos:
Vértices:
Ejemplos
1.
1
En cada una de las ecuaciones:
a) 9x2 + 4y2 = 36
b) x2 + 4y2 = 16Hallar:
i) Las coordenadas de los vértices. ii) Las coordenadas de los focos.
iii) La longitud del eje mayor.
iv) La longitud del eje menor.
v) La excentricidad
vi) La longitud del lado recto.
vii) Las ecuaciones de las directrices.
2.2 Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos:
(– 4 ; 0); y cuyos focos son los puntos (3 ; 0) y (– 3 ; 0).
(4 ; 0) y
3.
3
Hallar la ecuación dela elipse cuyos vértices son los puntos (0 ; 6) y
(0 ; – 6); y cuyos focos son los puntos (0 ; 4) y (0 ; – 4)
4
4.
Un techo de 20m de ancho tiene la forma de una semielipse. ¿cuál es la
altura del techo a 4m de las paredes laterales, si éste tiene una altura de
18m en el centro y de 12m en las pardes
PROPÓSITO DE LA CLASE
Aplican Propiedades en resolución de
ejercicios sobre la elpse. ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA O ESTÁNDAR
a) Elipse de centro en (h;k) y eje focal paralelo al eje “X”
y
L1
B1
L2
k
V1
F1
C (h;k)
F2
V2
B2
h
Las ecuaciones de sus directrices son:
Además:
Centro:
Focos:
Vértices:
x
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
b) Elipse de centro en (h;k) y eje focal paralelo al eje “Y”
y
L1
V1
F1
B1
C (h;k)
Las ecuaciones de susdirectrices son:
B2
F2
Además:
V2
Centro:
L2
Focos:
x
Vértices:
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL
Si los coeficientes A y C son del mismo signo
La ecuación:
Representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados , o
bien un punto o no representa ningún lugar geométrico real.
Ejemplo: La ecuación x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6 = 0, determine si la
elipse tiene su eje focal paralelo aleje X o Y
Ejemplos
11.
Dado las siguientes ecuaciones:
a) 9x2 + 4y2 – 8y – 32 = 0
b) 4x2 + 9y2 + 32x – 18y + 37 = 0
c) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 40 = 0
d) x2 + 4y2 + 2x + 17 = 0
Diga si son elipses o no. Si son Elipses, hallar:
i) Las coordenadas de su centro.
ii) Las coordenadas de los vértices.
iii) Las coordenadas de los focos.
iv) La longitud del eje mayor.
v) La longitud del eje menor.
vi)...
PROPÓSITO DE LA CLASE
Define e Identifica elementos de la
elipse y sus correspondientes
ecuaciones.
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
APLICACIONES Y CONSTRUCCIONES
NUEVO PUENTE GIRALDEZ
3,20 m
3,20 m
26 m
DEFINICION
Es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de tal manera
que la suma de sus distancias ados puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es
y
siempre igual a una constante 2a.
P
F1
F2
PF1 + PF2 = 2a
x
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
LN
L1
P
B1
E1
V1
F1
L2
D1
N2
0
E2 D
2
F2
N1
B2
L1 y L2 : Ejes directrices
V1 y V2 : Vértices
LF : Eje focal
F1 y F2 : Focos
LN : Eje normal
N1N2 : Lado Recto
0 : centro de la elipse
E1E2 : Cuerda focal
V2
LF
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
LN
L1
PB1
E1
V1
F1
D1
N2
F2
0
E2 D
2
D1D2
L2
: Diámetro
PF1 y PF2 : Radio vector
N1
B2
V1V2 : Eje mayor
B1B2 : Eje menor
F1F2 : Segmento focal
V2
LF
RELACIONES FUNDAMENTALES
B1
a
b
c
V1
F1
0
(c, 0) F2
V2
B2
01
Se tiene:
02
La relación entre
a, b, c es:
Longitud del eje mayor : V1V2 = 2a
Longitud del eje menor : B1B2 = 2b
Longitud del segmento focal: F1F2 = 2c
a2 = b2 + c2 RELACIONES FUNDAMENTALES
B1
N1
V1
F1
0
F2
V2
N2
B2
03
Un elemento importante de la elipse es
su excentricidad que se representa por
“e” y se define así:
04
La longitud del lado recto es:
RELACIONES FUNDAMENTALES
LN
L1
D1
V1
La distancia entre las rectas directrices es:
0
L2
V2
D2
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANÓNICA
a) Elipse de centro en el origen y eje focal el eje“X”
y
L1
L2
B1
V1
F1
C(0;0)
B2
Las ecuaciones de sus directrices son:
Además:
F2
V2
x
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANÓNICA
b) Elipse de centro en el origen y eje focal el eje “Y”
y
L1
V1
Las ecuaciones de sus directrices son:
F1
B1
C(0;0)
B2
x
F2
Además:
Centro:
V2
L2
Focos:
Vértices:
Ejemplos
1.
1
En cada una de las ecuaciones:
a) 9x2 + 4y2 = 36
b) x2 + 4y2 = 16Hallar:
i) Las coordenadas de los vértices. ii) Las coordenadas de los focos.
iii) La longitud del eje mayor.
iv) La longitud del eje menor.
v) La excentricidad
vi) La longitud del lado recto.
vii) Las ecuaciones de las directrices.
2.2 Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos:
(– 4 ; 0); y cuyos focos son los puntos (3 ; 0) y (– 3 ; 0).
(4 ; 0) y
3.
3
Hallar la ecuación dela elipse cuyos vértices son los puntos (0 ; 6) y
(0 ; – 6); y cuyos focos son los puntos (0 ; 4) y (0 ; – 4)
4
4.
Un techo de 20m de ancho tiene la forma de una semielipse. ¿cuál es la
altura del techo a 4m de las paredes laterales, si éste tiene una altura de
18m en el centro y de 12m en las pardes
PROPÓSITO DE LA CLASE
Aplican Propiedades en resolución de
ejercicios sobre la elpse. ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA O ESTÁNDAR
a) Elipse de centro en (h;k) y eje focal paralelo al eje “X”
y
L1
B1
L2
k
V1
F1
C (h;k)
F2
V2
B2
h
Las ecuaciones de sus directrices son:
Además:
Centro:
Focos:
Vértices:
x
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
b) Elipse de centro en (h;k) y eje focal paralelo al eje “Y”
y
L1
V1
F1
B1
C (h;k)
Las ecuaciones de susdirectrices son:
B2
F2
Además:
V2
Centro:
L2
Focos:
x
Vértices:
ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL
Si los coeficientes A y C son del mismo signo
La ecuación:
Representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados , o
bien un punto o no representa ningún lugar geométrico real.
Ejemplo: La ecuación x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6 = 0, determine si la
elipse tiene su eje focal paralelo aleje X o Y
Ejemplos
11.
Dado las siguientes ecuaciones:
a) 9x2 + 4y2 – 8y – 32 = 0
b) 4x2 + 9y2 + 32x – 18y + 37 = 0
c) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 40 = 0
d) x2 + 4y2 + 2x + 17 = 0
Diga si son elipses o no. Si son Elipses, hallar:
i) Las coordenadas de su centro.
ii) Las coordenadas de los vértices.
iii) Las coordenadas de los focos.
iv) La longitud del eje mayor.
v) La longitud del eje menor.
vi)...
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