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4.1.3.- Cantidad del movimiento lineal y angular para un sistema de partículas

La suma de las fuerzas externas sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total. Sea un sistema de N partículas donde m, es la masa de la i-ésima partícula y r, su vector de posición respecto al punto fijo O (Fig. 7.2). Sea fij la fuerza ejercida por la j-ésimapartícula sobre la i-ésima partícula, y sea la fuerza externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza total ejercida por cuerpos ajenos al sistema). La segunda ley de Newton establece que la fuerza total sobre la i-ésima partícula es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal.(7.1)

Donde vI = drI/dt es la velocidad de la i-ésima partícula. Escribiendo esta ecuación para cada partícula del sistema y sumando de i=1a N, obtenemos:
(7.2)


Fig 7.2 Sistema de partículas. El vector r, es el vector de posición de la i-ésima partícula.

Elprimer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de las fuerzas internas sobre el sistema de partículas. Como consecuencia de la tercera ley de Newton (fji + fij = O), este término es igual a cero:



El segundo término del lado izquierdo de la Ec. (7.2) es la suma de las fuerzas externas sobre el sistema. Denotándolo con ƩF, concluimos que la suma de las fuerzas externas sobre elsistema es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total:


Sea m la suma de las masas de las partículas:

La posición del centro de masa del sistema es:


Por lo que la velocidad del centro de masa es:


Usando esta expresión podemos escribir la Ec. (7~3) como:


La fuerza externa total sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio del producto de su masatotal por la velocidad de su centro de masa. Como cualquier cuerpo o colección de cuerpos, incluyendo un cuerpo rígido, se puede considerar como un sistema de partículas, este resultado es uno de los más generales y elegantes de la mecánica. Además, si la masa total m es constante, obtenemos:

donde a = dv/ dt es la aceleración del centro de masa. La fuerza externa total es igual al producto de lamasa total por la aceleración del centro de masa



Principios del momento y momento angular

Ahora obtenemos relaciones entre la suma de los momentos debidos a las fuerzas externas sobre un sistema de partículas y la razón de cambio de su momento angular total. La posición de la i-ésima partícula del sistema respecto a O está relacionada con su posición respecto al centro de masa (Fig. 7.3) por:Fig (7.3). El vector R, es el vector de posición
de la i-ésima partícula respecto
al centro de masa.



Al multiplicar esta ecuación por mi' sumando de 1 a N, y usar la Ec. (7.4) encontramos que las posiciones delas partículas respecto alcentro de masa están relacionadas por


El momento angulartotal del sistema respecto a O es la suma de los momentos angulares de las partículas

donde vi = drJ/dt. El momento angular del sistema respecto a su centro de masa (es decir, el momento angular respecto al punto fijo que coincide con el centro de masa en el instante presente) es:

Usando las Ecs. (7.5) Y(7.6) se puede demostrar que:


Esto expresa el momento angular total respecto a O como lasuma de los momentos angulares respecto a O debido a la velocidad v del centro de masa del sistema y el momento angular total respecto al centro de masa (Fig. 7.4).

Fig.(7.4). El momento angular respecto a O es igual a la
suma del momento angular respecto al centro de...