41 Funciones Crecientes Y Decrecientes 1ra Derivada Larson 199 205

Funciones crecientes y decrecientes y el criterio
de la primera derivada

3.3

■
■

Determinar los intervalos sobre los cuales una función es creciente o decreciente.
Aplicar el criterio de la primera derivada para determinar los extremos relativos de una
función.

Funciones crecientes y decrecientes
En esta sección se verá cómo se pueden utilizar las derivadas para clasificar extremos relativosya sea como mínimos o como máximos relativos. En primer término, es importante
definir las funciones crecientes y decrecientes.
DEFINICIÓN DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
y

x

a

x

Una función ƒ es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x1 y
x2 en el intervalo, x1 x2 implica ƒ(x1) ƒ(x2).

b
f

Cre

nte
cie

cre

cien

te

De

Una función ƒ es decreciente sobre unintervalo si para cualesquiera dos números x1
y x2 en el intervalo, x1 x2 implica ƒ(x1) ƒ(x2).

Constante
f (x)

0

f (x)

0

f (x)

0

x

La derivada se relaciona con la pendiente de
una función
Figura 3.15

Una función es creciente si, cuando x se mueve hacia la derecha, su gráfica asciende,
y es decreciente si su gráfica desciende. Por ejemplo, la función en la figura 3.15 es decreciente en elintervalo (
, a), es constante en el intervalo (a, b) y creciente en el intervalo
(b, ). Como se muestra en el teorema 3.5, una derivada positiva implica que la función es
creciente; una derivada negativa implica que la función es decreciente, y una derivada cero
en todo el intervalo implica que la función es constante en ese intervalo.

TEOREMA 3.5 CRITERIO PARA LAS FUNCIONES CRECIENTES YDECRECIENTES
Sea ƒ una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el
intervalo abierto (a, b).
1.
2.
3.

Si ƒ (x)
Si ƒ (x)
Si ƒ (x)

0 para todo x en (a, b), entonces ƒ es creciente en [a, b].
0 para todo x en (a, b) entonces ƒ es decreciente en [a, b].
0 para todo x en (a, b) entonces ƒ es constante en [a, b].

Para probar el primer caso, supongamos que ƒ (x) 0 para todo x enel
DEMOSTRACIÓN
intervalo (a, b) y sean x1 x2 cualesquiera dos puntos en el intervalo. Mediante el teorema
del valor medio, se sabe que existe un número c tal que x1 c x2, y

(c )
Como ƒ (c)

f Sx2D

( x 2 ) ( x1 )
.
x 2 x1
0 y x2

฀x1

0, se sabe que

f Sx1D > 0

lo cual implica que ƒ(x1) ƒ(x2). De tal modo, ƒ es creciente en el intervalo. El segundo caso
tiene una demostración similar (ver elejercicio 104), y el tercer caso se dio en el ejercicio
82 en la sección 3.2.
NOTA Las conclusiones en los primeros dos casos del teorema 3.5 son válidas incluso si ƒ (x)
en un número finito de valores de x en (a, b).

1

0

EJEMPLO 1

Intervalos sobre los cuales ƒ es creciente y decreciente

Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales ƒ(x)
ciente.

฀x3

฀ N x2 es creciente o decre-

SoluciónNótese que ƒ es derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar
los puntos críticos de ƒ, igualar a cero ƒ (x).
y

f(x)

f SxD

฀฀32 x 2

x3

f SxD

3x 2
3SxDSx

Creci
en

te

2

1

(0, 0)

Crec
iente

1
1

De
1
cre
cie
nte

x

2

(1, 12 )

3 2
x
2

Escribir la función original.

0
0
0, 1

Derivar e igualar f (x) a cero.
Factorizar.
Puntos críticos.

Como no hay puntos para loscuales ƒ no exista, es posible concluir que x 0 y x 1
son los únicos puntos críticos. La tabla siguiente resume la prueba de los tres intervalos
determinados por estos dos puntos críticos.

Valor de prueba
Signo de f XxC
Conclusión

< x < 0

x

f S 1D

0 < x < 1

1

6 > 0

Creciente

x

f

SD
1
2

1
2
3
4

1 < x <

x
< 0

Decreciente

De tal modo, ƒ es creciente en los intervalos (
(0, 1), comose indica en la figura 3.16.

, 0) y (1,

f S2D

2

6 > 0

Creciente
) y decreciente en el intervalo

Creci

ente

y

1

3x
1D
x

Intervalo

Figura 3.16

2

x3

El ejemplo 1 muestra cómo determinar intervalos sobre los cuales una función es creciente o decreciente. La guía siguiente resume los pasos que se siguen en el ejemplo.

f (x) = x 3
x

1

1

2

Estrategias para determinar los intervalos...