42326818 matematica iii examen final calculo fiee uni 130528204245 phpapp01

EXAMEN FINAL 2010-I
1-Sea R una bola homogénea de masa M y radio R. Sea Aun punto a una distancia H del centro de la bola, H>R. Calcule, donde δ es la densidad y q es la distancia desde el punto Pen R hasta A.
Solución:
Para un diferencial de volumen:
Por teorema de cosenos:




2-Un campo eléctrico irradia potencia a razón de unidades por metro cuadrado en el punto .Halle lapotencia total que irradia a la superficie esférica .
Solución:
Sea:
Del dato: entonces






3-Las áreas de las proyecciones de una pequeña región delgada de superficie regular sobre cadauno de los tres planos coordenados son 0.01, 0.02, 0.03 ¿Esta información es suficiente para hallar el área de la región?.Si es así determine el área; si no explique ¿por qué?.
Solución: Si se tratade una pequeña región entonces, la proyecciones en los planos coordenados son ,,
,,
Por propiedad de ángulo diedro se tiene que:

Entonces:


4-Calcule el área de una zona esférica de alturacuya longitud es H , en una superficie esférica de radio R.
Solución:
Parametrizando :
El área es

Observando :
El área




5-Calcule el flujo del campo vectorial , a través de la superficielateral del cono circular recto de altura H y radio de la base R.
Solución:
Sea un cono orientado como la figura :
Parametrizando:

entonces:

6-Considere un sistema de coordenadas esféricas .Endeterminado punto, sean vectores unitarios que apuntan en la dirección del crecimiento de respectivamente. Sea la función definida en el espacio. Calcule .
los vectores son:

Si la gradiente deuna función es

En coordenadas esféricas:


7-Sea R una bola de radio a removida por una barra cilíndrica de diámetro a cuyo lado pasa por el centro de la esfera a) Bosqueje R b) Observe que Rconsta de 4 pedazos congruentes. Halle el volumen de uno de estos pedazos usando coordenadas cilíndricas.
c) El siguiente cálculo produce un valor para el volumen de R
Solución:
Las ecuaciones son: ,...