43_Valor_esperado_Varianza

Valor esperado y varianza.


El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cual era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y elconjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x). El valor esperado de la variable aleatoria X, E(X), es:
E(X) = å xi f(xi)
El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente unagran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o de gravedad de la distribución de probabilidad y es igual a la media o promedio aritmético, m. E(X) = m = å xi f(xi)

Ejemplo 1. Se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.
Solución.
Se define la variable aleatoria X como la suma de los números que aparecen al lanzar dos dados legales.E(X) = å xi f(xi) =
X = xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(xi)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Realizando cálculos:


2 (1/36) + 3 (2/36) + 4 (3/36) + 5 (4/36) + 6 (5/36) + 7 (6/36) + 8 (5/36) + 9(4/36) + 10 (3/36) + 11 (2/36) + 12 (1/36) = 7

Si la distribución de probabilidades es simétrica, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidaden la distribución.

Una aplicación del valor esperado puede ser:
Ejemplo 2. En un casino un jugador lanza un dado legal y recibe tantos pesos como puntos aparecen en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad k de pesos cada vez que juegue. Calcular cuanto debe valer k para que el jugador no gane ni pierda.
Solución.
Sea X la variable aleatoria que representa el resultado allanzar un dado. Su distribución de probabilidad es:
X = xi
1
2
3
4
5
6
f(xi)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

En este caso el valor esperado debe ser igual al valor k, con lo que se espera que el jugador no gane ni pierda.
Valor esperado:
E(X) = å xi f(xi) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) +5(1/6) + 6(1/6) = 3.5
El jugador debe pagar 3.5 pesos cada vez que participa en un juego.

Si la cuota k fuera de$4 por juego, la ganancia neta esperada del casino es de 0.50 pesos por juego. E(X) Como lo que recibe el jugador en un solo juego es un número entero entre 1 y 6), entonces la E(X) no necesariamente coincide con el resultado de un solo juego.
El significado de E(X) = 3.5 pesos, es que si el juego se realiza un gran número de veces, el cociente debe ser aproximadamente igual a 3.5 pesos.Ejemplo 3. Considerese una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 centavos y el premio es de 100 pesos. Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería.

Solución.
Si X es la variable aleatoria utilidad que obtiene la persona que participa en la lotería. Y los valores que puede tomar son:
Cuando gana = 99.75 pesos (100 que gana del premio, menos 0.25 del costodel número).
Cuando pierde: –0.25 pesos (costo del número)
Por su parte, la probabilidad de ganar es 1/1000 y de perder 999/1000.
De acuerdo a los datos anteriores, la distribución de probabilidad es:

X = xi
99.75
-0.25
f(xi)
1/1000
999/1000

Por lo tanto, el valor esperado es:

E(X) = å xi f(xi) = (99.75) (1/1000) + (-0.25) (999/1000) = -0.15
O sea que la persona que participe en la loteríaespera perder 15 centavos en cada juego.





Varianza
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