44 Lect Prac Cn La Parabola

UNIDAD 4.
La Parábola
Practicando con la parábola

Juan Adolfo Álvarez Martínez
Autor

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre
igual a su distancia a un punto fijo del plano que no pertenece a la recta. El
punto fijo se denomina foco y la recta fija, directriz de la parábola.
El vértice (V) de laparábola es el punto de esta línea más próxima a la
directriz de la parábola. En la siguiente figura se observa los elementos de
una parábola.
La siguiente figura ilustra el concepto dado anteriormente.
Figura 1.

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN:
La ecuación de una parábola adopta su forma más simple cuando su vértice
está en el origen y su eje coincide con uno de los ejescoordenados. En la
figura anterior, la parábola mostrada tiene su eje sobre “x”, su foco tiene
coordenadas (f,0), es decir sobre la parte positiva de las abscisas y la directriz
es paralela a “y”, la grafica que se obtiene es una curva abierta que se extiende
indefinidamente hacia la derecha del eje Y, abriendo hacia la derecha.
La parábola cumple rigurosamente simetría respecto al eje; En el eje dela
parábola se encuentra el foco y el vértice.

La ecuación de la parábola, en su forma más simple, está referida a los ejes
de coordenadas, siendo el vértice el punto 0 y el eje de la parábola, el eje
de coordenadas.
Se analizarán básicamente cuatro casos:

Es importante decir que “p” es un parámetro que indica la distancia que hay
entre el vértice y el foco, así como también la distancia entreel vértice y la
directriz
Como se puede ver, es importante que tengas en cuenta lo siguiente:



si “p” es positiva la parábola abre hacia “arriba o a la derecha”
si “p” es negativa la parábola abre hacia “abajo o a la izquierda”

En lo que respecta al término de segundo grado:

si es “x2” entonces la parábola tiene su eje vertical.

si es “y2” entonces la parábola tiene su eje horizontal.
Es recomendable recordar estos cuatro aspectos que se han mencionado, para
que en base a ello se facilite la resolución de problemas y la graficación de las
ecuaciones.
Más adelante se verán los casos donde la parábola tiene su vértice fuera del
origen. Por el momento analizaremos aquellos ejercicios donde el vértice está en el
origen del sistema de coordenadas.

Ejemplo 1.
Dada la ecuación de laparábola y2 = 12x determine las coordenadas de su foco,
vértice y la directriz.
Solución: en este caso analizamos la ecuación y observamos que de acuerdo con
los 4 puntos mencionados, el término de segundo grado es “y”, por lo que la
parábola es horizontal.
Por otra parte comparamos y2 = 12x con la ecuación y2 = 4px , notamos que “p” es
positiva.
Y de donde “p” se obtiene de la parte : 4p=12 ,luego despejando “p” resulta:

Por lo tanto la parábola abre hacia la derecha. Ahora bien sabemos que la parábola
tiene su vértice en el origen, lo que falta es determinar las coordenadas del foco,
que tiene necesariamente la coordenada “y” igual a cero porque la parábola tiene
su eje en “x” que es la única coordenada que debemos calcular:

Por lo que entonces el foco tiene coordenadas F = (3,0)
Yla directriz se ubica en la parte negativa de “x” a la misma distancia que hay del
vértice al foco, es decir x = -3.
La parábola se encuentra en la figura siguiente.

Ejemplo 2.
Dada la ecuación de la parábola x2 = -2y determine las coordenadas de su foco,
vértice y la directriz.
Solución: en este caso analizamos la ecuación y observamos que de acuerdo con
los 4 puntos mencionados, el término desegundo grado es “x”, por lo que la
parábola es vertical, por otra parte comparamos x2 = -2y con la ecuación x2 = -py
Notamos que “p” es negativa. Por lo tanto la parábola abre hacia abajo.
Ahora bien sabemos que la parábola tiene su vértice en el origen, lo que falta es
determinar la coordenada del foco, que tiene necesariamente la coordenada “x”
igual a cero porque la parábola tiene su eje en...