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Simulación de tratamiento térmico por diferencias finitas
V. Pérez Felipe*, L. Goyos Pérez*, L. Martínez Fonte**
* Departamento de Tecnología de Construcción de Maquinaria
** Centro de Bioingeniería
Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, La Habana 19390, Cuba.
E-mail: mecanica@cujae.ispjae.edu.cu

Resumen
El objetivo del presente trabajo es modelar la etapa de enfriamientodurante un tratamiento térmico en agua y aire de piezas
cilíndricas. Se implementó con el método de diferencias finitas en dos dimensiones, obteniéndose un programa por
computadora que ofrece de manera gráfica la temperatura en diversos lugares de la pieza, en el tiempo.

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1. Introducción
El presente trabajo es la continuación de una investigación
anterior,donde se modelaba el enfriamiento de piezas
cilíndricas por el método de las diferencias finitas en una
dimensión [4]. Se decidió acometer ambos trabajos por la
necesidad de dar tratamiento térmico a piezas de grandes
dimensiones, para obtener hierro austemperizado, y por solo
contarse con agua y aire como medios de enfriamiento. La
realización de ensayos experimentales para determinar latecnología de enfriamiento de estas piezas, conllevaría un
gasto considerable de energía térmica, así como de material,
mano de obra y equipos auxiliares.
Entre los métodos numéricos más comunes podemos citar
los métodos de diferencias finitas, elementos finitos e
integral de contorno. Siendo el primero de éstos el más
popular por las facilidades que presenta durante su
deducción. Para aplicar el método deDiferencias Finitas
existen muchas variantes, siendo muy popular entre los
ingenieros, construir la ecuación de diferencias aplicando el
principio de conservación de la energía a un elemento de
volumen alrededor de un nodo de la red.
Existen muchos programas por computadora que simulan
procesos de transferencia de calor, dentro de los cuales
podemos citar: SINDA, MITAS, PHOENICS. Pero no estándirectamente enfocados para resolver problemas de
tratamiento térmico; y al no contar en muchos casos con los
mismos, los autores se propusieron la elaboración de
programas para modelar tratamientos térmicos, con el
objetivo de obtener la tecnología de enfriamiento sin tener
que recurrir a ensayos prácticos, utilizando el método de las
diferencias finitas.

En aras de simplificar el análisis ygarantizar la
confiabilidad de los resultados, fue seleccionada como
forma geométrica a modelar la de una pieza cilíndrica, y
como medios de enfriamiento el agua y el aire, ya que se
contaba con ecuaciones para modelar los procesos de
enfriamiento de la frontera del cilindro con gran exactitud.

2. Análisis del proceso de transferencia
de calor dentro de la pieza y realización
efectiva del método dediferencias
finitas
La transferencia de calor en el interior del cilindro se lleva
a cabo por conducción, y para obtener un modelo por
diferencias finitas en dos dimensiones es necesario:
Discretizar la pieza en pequeños elementos de volumen.
Aplicar la ley de FOURIER para la conducción (1) y el
principio de conservación de la energía.

∆Q= - λ A δT/δr

(1)

donde :
λ : Conductividad térmica [W/m]
A: Área de la superficie isoterma [m2]
δT/δr : Gradiente de temperatura [°C/m]
∆Q : Flujo de Calor [W]
Se discretizó la pieza, como se puede observar en la Fig. 1
y en la Fig. 2, en una red de puntos equidistantes en el
sentido radial y longitudinal, para analizar físicamente la
conducción del calor.

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V. Pérez Felipe, L. Goyos Pérez y L. Martínez Fonte

∆ Q4
∆ Q1

∆ϕ

Ti,k

∆z

Ti-1,k

∆ Q2∆r

ri

∆ Q3
Fig. 1 Cilindro discretizado.
Una vez dividida la pieza en una red de puntos
equidistantes, denominados nodos, se selecciona uno que se
encuentre en el interior del cilindro para obtener un modelo
matemático que permita simular el proceso de transferencia
de calor.

Fig. 2 Elemento diferencial de volumen.

∆Q1 = − λ( Ti , j ,k − Ti −1, j ,k )( ri −

∆r
∆ϕ
)∆ Z
2
∆r

(2)

∆Q2 = − λ(...