46apolonio
Páginas: 25 (6240 palabras)
Publicado: 29 de abril de 2015
46
Junio 2004, pp. 59-70
Los diez problemas de Apolonio
Este artículo es fruto de una colaboración entre dos áreas curriculares, Plástica y Matemáticas, que comparten un amplio campo
de contenidos curriculares, y en él se resuelven los diez problemas de tangencias de Apolonio. En primer lugar, se hace un tratamiento sintético y se obtienen las soluciones con regla y compás utilizando Cabri. Acada construcción le sigue su planteamiento
analítico y se resuelven algunos ejemplos en el estilo de las coordenadas usando Maple. También se hace una breve reflexión sobre
las aportaciones de ambos procedimientos en cada caso y, finalmente, se concluye el artículo con unas reflexiones generales.
This article is the result of a collaboration between fields that may seem unrelated: Plastic Artsand Mathematics. They share a
wide field of syllabus, and in this work we solve the ten problems of Apollonius from the two perspectives. First, the synthetic treatment is done by using the software Cabri and the solutions are obtained on the rule-and-compass manner; then the corresponding analytic approach is considered, and we solve some of the examples using coordinates using Maple. Also a briefanalysis in both procedures is done case by case. Finally, we end the article with general reflections.
A
polonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente
conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por
su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el
problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y
que tiene este enunciado:
Consultada la base de datos del ZDM,Matdhi, sólo aparecen
cuatro trabajos relacionados con Apolonio y, de ellos, sólo el
artículo de E. R. Lozano (1997), tiene que ver con el problema
de tangencias, pero en él se trata la relación del problema de
Apolonio con el de Soddy y, por tanto, sigue una orientación
distinta de la que se hace aquí.
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede
ser un punto, una recta o unacircunferencia, dibujar
una circunferencia que sea tangente a cada uno de los
tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de
ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular. Según Boyer (1986), los casos más sencillos (tres puntos y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de
Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros
seis (dospuntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, dos
circunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia) en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos
restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias) en el Libro II de las Tangencias. Aunque desgraciadamente estos libros se han perdido, a través dePappus de
Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los
nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el
primer matemático que resolvió por medio de la regla y el
compás el problema de encontrar la circunferencia tangente a
otras tres circunferencias.
Se sabe que Apolonio resolvió
los nueve primeros, y hoy en
día se cree que fue Newton el
primer matemático que
resolvió elúltimo.
Inés Ortega
Didáctica de la Expresión Musical, Plástica y Corporal.
Tomás Ortega
Analisis Matemático y Didáctica de la Matemática,
Universidad de Valladolid.
59
SUMA 46
Junio 2004
El propósito de este artículo es mostrar como se pueden conjugar la visión de la geometría sintética, propia del Área de
Dibujo, con la geometría analítica, propia de la Matemática, y
desde la óptica de laDidáctica combinar los estilos de resolución de forma complementaria. Así se crea un marco interdisciplinar de analisis didáctico que puede permitir elegir las
opciones de resolución y de razonamiento más apropiadas en
cada caso.
A continuación se describen los problemas y las soluciones
correspondientes, junto con sus procedimientos constructivos y resolutores, y las presentaciones que siguen...
Junio 2004, pp. 59-70
Los diez problemas de Apolonio
Este artículo es fruto de una colaboración entre dos áreas curriculares, Plástica y Matemáticas, que comparten un amplio campo
de contenidos curriculares, y en él se resuelven los diez problemas de tangencias de Apolonio. En primer lugar, se hace un tratamiento sintético y se obtienen las soluciones con regla y compás utilizando Cabri. Acada construcción le sigue su planteamiento
analítico y se resuelven algunos ejemplos en el estilo de las coordenadas usando Maple. También se hace una breve reflexión sobre
las aportaciones de ambos procedimientos en cada caso y, finalmente, se concluye el artículo con unas reflexiones generales.
This article is the result of a collaboration between fields that may seem unrelated: Plastic Artsand Mathematics. They share a
wide field of syllabus, and in this work we solve the ten problems of Apollonius from the two perspectives. First, the synthetic treatment is done by using the software Cabri and the solutions are obtained on the rule-and-compass manner; then the corresponding analytic approach is considered, and we solve some of the examples using coordinates using Maple. Also a briefanalysis in both procedures is done case by case. Finally, we end the article with general reflections.
A
polonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente
conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por
su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el
problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y
que tiene este enunciado:
Consultada la base de datos del ZDM,Matdhi, sólo aparecen
cuatro trabajos relacionados con Apolonio y, de ellos, sólo el
artículo de E. R. Lozano (1997), tiene que ver con el problema
de tangencias, pero en él se trata la relación del problema de
Apolonio con el de Soddy y, por tanto, sigue una orientación
distinta de la que se hace aquí.
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede
ser un punto, una recta o unacircunferencia, dibujar
una circunferencia que sea tangente a cada uno de los
tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de
ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular. Según Boyer (1986), los casos más sencillos (tres puntos y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de
Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros
seis (dospuntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, dos
circunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia) en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos
restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias) en el Libro II de las Tangencias. Aunque desgraciadamente estos libros se han perdido, a través dePappus de
Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los
nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el
primer matemático que resolvió por medio de la regla y el
compás el problema de encontrar la circunferencia tangente a
otras tres circunferencias.
Se sabe que Apolonio resolvió
los nueve primeros, y hoy en
día se cree que fue Newton el
primer matemático que
resolvió elúltimo.
Inés Ortega
Didáctica de la Expresión Musical, Plástica y Corporal.
Tomás Ortega
Analisis Matemático y Didáctica de la Matemática,
Universidad de Valladolid.
59
SUMA 46
Junio 2004
El propósito de este artículo es mostrar como se pueden conjugar la visión de la geometría sintética, propia del Área de
Dibujo, con la geometría analítica, propia de la Matemática, y
desde la óptica de laDidáctica combinar los estilos de resolución de forma complementaria. Así se crea un marco interdisciplinar de analisis didáctico que puede permitir elegir las
opciones de resolución y de razonamiento más apropiadas en
cada caso.
A continuación se describen los problemas y las soluciones
correspondientes, junto con sus procedimientos constructivos y resolutores, y las presentaciones que siguen...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.