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Colegio “San Luis Rey”

Ficha # 07 – IV Bimestre

Quinto Año

"Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación"

INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO

Ciencias: Álgebra

1

Prof. Jeanive Nin Z.

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Ciencias: Álgebra

Ficha # 07 – IV Bimestre

2

Quinto Año

Prof. Jeanive Nin Z.

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Ficha # 07 – IV Bimestre

Quinto AñoINECUACIONES DE PRIMER GRADO

Se llama inecuación de 1er grado a toda inecuación que admite alguna de las siguientes
formas:

Ciencias: Álgebra

3

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Ficha # 07 – IV Bimestre

Quinto Año

ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b ≥ 0
Donde x es la incógnita ∧ {a;b} ⊂ R / a ≠ 0
b
b
a) Si: a > 0 ⇒ x < − , es decir, su conjunto solución es: x ∈ −∞; −
a
a
bb
b) Si: a < 0 ⇒ x < − , es decir, su conjunto solución es: x ∈ − ; ∞
a
a
3x 1 − x
+
4
3

Ejemplo: 3x − 5 <
3x − 5 <

3 ( 3x ) + 4 (1 − x )

12
12 ( 3x − 5 ) < 9x + 4 − 4x
36x − 60 < 5x + 4
31x < 64
x<

64
31

−∞

C.S = −∞;

− 1 0 1 2 64
31

+∞

64
31

Sistema de inecuaciones:
Recibe este nombre un conjunto de inecuaciones de primer grado, las cuales se verifican
para los mismos valores numéricosde sus incógnitas. Veamos algunos
Ejemplos:
1.

ax + b > 0................ (I)
cx + d < 0............... (II)

Ciencias: Álgebra

Es un sistema de dos inecuaciones con una sola incógnita

4

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Ficha # 07 – IV Bimestre

Quinto Año

ax + by + c > 0........... (I)

2. dx + cy < 0................ (II)

Es un sistema de tres inecuaciones con dos incógnitasfx > 0....................... (III)

Resolución de un sistema de inecuaciones de primer grado
1. Con una sola incógnita.- En estos casos se resuelve por separado cada inecuación
componente del sistema, siendo la solución del mismo la intersección de todos los
intervalos que representan a las soluciones halladas.
2. Con dos o más incógnitas.- En estos casos se recomienda transformarconvenientemente al sistema con la finalidad de obtener la solución de alguna de las
incógnitas, la cual ser reemplazada en cualquier otra inecuación permitirá encontrar
las soluciones de las demás.
Ejemplo:
Resolver el sistema de inecuaciones:

4x − 1
7x − 1
+4<
+ 2.................. (I)
3
2

( x + 1)( x + 3 ) > ( x + 1)
2 ( 4x − 1) + 24

<

3 ( 7x − 1) + 12

6
6
8x − 2 + 24 < 21x − 3 + 12
−13x < −13
x >1............... ( α )

2

+ 5........... (II)

x 2 + 4x + 3 > x 2 + 2x + 1 + 5
2x > 3
3
x > .............. ( θ )
2

Finalmente efectuamos la intersección de ( α ) y ( θ ) , para lo cual nos auxiliaremos del
siguiente gráfico.
La solución del sistema viene dado por la zona
sombreada que representa la intersección de
los intervalos dados, lo cual nos permite
asegurar que todos los valores de x quesatisfacen el sistema deben encontrarse en el
3
1
−∞
+∞
3
siguiente intervalo: x ∈ ; ∞
2
2
INECUACIONES DE SEGUNDO

GRADO

DEFINICION

Las desigualdades de tipo :
ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c ≤ 0
se denominan desigualdades de segundo grado o cuadráticas.
Ejemplos:
x2 + x – 6 > 0 ; 2x2 – 5x – 3 < 0

Ciencias: Álgebra

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Ficha # 07 – IV Bimestre

Quinto Año

5x2 – 8x + 3 ≥ 0 ; 2x2 + 4x + 5 ≤ 0
Nota: La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del
Discriminante: ∆ = b2 – 4ac

PRIMER CASO
Si: ∆ > 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es factorizable en el campo real, para
resolver utilizaremos el método de los puntos críticos.
a(x – x1)(x – x2) ≷ 0
Procedimiento:
1. Se factoriza el polinomio.
2.Hallar los dos puntos críticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente.
3. Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello
se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha a
izquierda; comenzando por el signo (+).
4. Si tenemos:
P(x) = ax2 + bx + c < 0

ó P(x) = ax2 + bx + c ≤ 0

El conjunto solución...