4Sucesiones

09/09/2014

SUCESIONES
DEFINICIÓN:

Conjunto de objetos puestos en orden

Es una función cuyo dominio es Z+ (N):

SUCESIONES Y
LÍMITES DE
SUCESIONES

S = {(n, f(n)) / n N}

{f(n)} ó an.

Df = {n εN}
Rf = {f(n) / n εN}

S= {(1, f(1)) , (2, f(2)) , 3, f(3)) , …}
an = 1/n  1, ½, 1/3, ¼, …, 1/n, …
an = (n+1)/n 2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, …,(n+1)/n , …

SUCESIONES

SUCESIONES

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICASUCESIONES

CLASIFICACIÓN:

Monótona: Si es creciente o decreciente.

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

SUCESIONES

CLASIFICACIÓN:

Acotada: Si y sólo si tiene una cota superior y una cota inferior.

Una sucesión {an} es decreciente si: an >= an+1, para todo n
“C” (cota inferior de la sucesión {an}): si C ≤ an para todo n ε Z+
Si an > an+1 estrictamente decreciente.
Si an < an+1 estrictamente creciente.1/n  Estrictamente decreciente ...

“D” (cota superior de la sucesión {an}): si an ≤ D para todo n ε Z+
Para {1/n}  1, 1/2, 1/3, 1/4,…1/n

a1 = a2 = 2 ; an+1 = an + an-1 Creciente

Cualquier valor ≤ 0 es una cota inferior

 1( n 1)
n

Cualquier valor ≥ 1 es una cota superior

 No es monótona

1

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SUCESIONES

SUCESIONES

CLASIFICACIÓN:

Acotada:

CONCLUSIONES:

Si una sucesión esdecreciente y está acotada, es convergente
(tiene un límite)

Una sucesión puede tener muchas cotas superiores e inferiores

(Ojo: No toda sucesión convergente es decreciente y está
acotada).

Mínima cota superior: Si A es una cota superior de la sucesión
{an} y para toda cota superior D de {an} se cumple que A ≤ D

Si una sucesión es creciente y está acotada, es convergente
Si an es crecienteconverge a su mínima cota superior

Máxima cota inferior: Si B es una cota inferior de la sucesión
{an} y para toda cota inferior C de {an} se cumple que B ≥ C

SUCESIONES

Si an es decreciente converge a su máxima cota inferior

Límite de las sucesiones convergentes y divergentes.

EJEMPLO:

En la sucesión

 n  1 2 3 4 5

  , , , , ,... Es creciente y acotada
 2n  1 3 5 7 9 11

n cuántos máselementos se tomen,
2n  1

más se acercará a 1/2, aunque nunca llegará a ser 1/2

Converge a 1/2 que es su mínima
cota superior

n
1

2n  1 2

es un número más pequeño cuánto
más me acerco a 1/2

En general, si existe un número “L” tal que an  L , es
arbitrariamente pequeño para “n” suficientemente grande,
decimos que la sucesión {an } tiene límite “L”.

Ejemplo:

Definición:

 n1 
 es 1y hallar
 n 

Determinar que el límite de a n  
Una sucesión {an} se dice que tiene límite si para todo

 0

el valor de N si   0 .01

existe un número N > 0 tal que:

an  L  

an  L  
y se escribe así:

Lim

 n N

 n N

an  L

n 1  n 1
1
    n
n
n


n 

Si N 

1


y



n 1
1  
n

n

si   0.01

n N

1

 N  100

2

09/09/2014

Ejemplo: Demostrar que1

Lim f ( n )  2

cuando

n 

  0.1

  0.05

 n 
f(n) 

 2n  1 

; n

; N

1  2
4

 > 0 existe
Definición:

n
1
 
2n  1 2

n N

2n  2n  1
1
1



4n  2
4n  2
4n  2

Sucesión oscilante: Ejemplo: a n

1  2
4

si   0.05  N  5

si   0.1  N  2

Se debe demostrar que para cualquier
un N > 0 tal que:

n
1
 
2n  1 2

Es decir,

 n

 ( 1 ) n 1
n


Si una sucesión {an} tiene un límite, se dice que la
sucesión es convergente, y decimos que an converge a
ese límite.

1 2
4

Si la sucesión no es convergente, se dice que es
divergente

Teoremas sobre límites de sucesiones





Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y C es una
constante, entonces:

a1= 1; a2= -1/2; a3= 1/3; a4= -1/4; a5= 1/5; a6= -1/6;
Los valores oscilanalrededor de cero

 ( 1)
n

n1

Lim 
n 

1) La sucesión constante


  0


2) Lim
n 

Can  C Lim an
n  

.

3) Lim

(an  bn )  Lim an  Lim bn
n 

n 

4) Lim

converge a 0



S 2  2n  (1) n1



n  

(an  bn )  Lim an  Lim bn
n 

n 


4 
n
Ver lo que sucede con: S1  (1) 2  n  
 2 


an  {C} tiene a C como límite

5) Lim

n 

(an / bn )...