4tema 8 geometria analitica

René Descartes
(1596 –1650)

Pierre Fermat
(1601 –1665)

Transforman los problemas geométricos en problemas algebraicos
mediante la introducción de sistemas de coordenadas.

B

Vector de origen A y extremo B

AB
A

Módulo de

AB

es la distancia de A a B y se designa AB

Dirección de AB es la de la recta sobre la que están A y B
es la de todas las paralelas a ella.
Cada dirección admite dossentidos opuestos de A a B y de B a A.
B

A

B’

A’

Dos vectores son iguales cuando tienen el
mismo módulo la misma dirección y el mismo
sentido.

AB = A'B'

r
r
k ∈ R k ≠ 0 v ∈ V ⇒ kv ∈ V

r
v

Dirección: la misma que

r
2v
r
−3 v
r
0' 5 v

r
v

Sentido: el mismo que el de
según que
Módulo:

k

r
v

o su opuesto ,

sea mayor o menor que cero.

r
r
kv = k v

r r
0 v = 0 Vector cero
r
r
−1 v = − vVector opuesto

r
v

r
u

r
u

r r
u+v

r r
u+v
r
v

r
u
r
v

r r
u−v

r
−v
r
u

Suma de vectores
Asociativ
a
Conmutativa
Vector nulo
Vector opuesto

r r
r r
r r
(ur + rv ) +rw =r u + (v + w )
u+ v=v+u
r r r
0+ v= v r
r
r
v + (− v ) = 0

Producto de números por vectores
Asociativa
Distributiva I
Distributiva II
Producto por 1

r
r
a ⋅ (b ⋅ v ) = (a ⋅ b ) ⋅ v
r
r
r
(a + b) v = a ⋅v + b ⋅v
r r
r
r
a⋅ (u + v ) = a ⋅ u + a ⋅ v
r r
1⋅v = v

r r r
r
Dados varios vectores x , y , z , . . ., w , y varios números, a , b , c , . . ., l ,
r
r
r
la expresión a x + b y + c zr + . . ., + l w se llama combinación lineal de
los vectores

r
r
4 x+2 y

r r
−2 x + y

r
u

r
r
v =2u

r
v

r
y

Dos vectores alineados

r
x

r
y
r
x

r
z

r 5 r 5 r
z = x+ y
4
2

Tres vectores coplanarios

r r r
r
Dados variosvectores x , y , z , . . ., w , y varios números, a , b , c , . . ., l ,
r
r
r
la expresión a x + b y + c zr + . . ., + l w se llama combinación lineal de
los vectores

r
r
4 x+2 y

r r
−2 x + y

r
u

r
r
v =2u

r
v

r
y

Dos vectores alineados

r
x

r
y
r
x

r
z

r 5 r 5 r
z = x+ y
4
2

Tres vectores coplanarios

r
u
r r
u − v − vr

r
v

Y

B

mx =

7
M

my
3

13 − 1
+1
2

my =

7 −3
+3
2

AX
1

mx

13

x2 − x1 2 x1
x2 − x1
+
mx =
+ x1 ⇒ mx =
2
2
2

x2 + x1
⇒ mx =
2
y2 + y1
⇒ my =
2

Y

B

A ( x1 , y1 ) ; B ( x 2 , y 2 )

y2

y 2 − y1

A

y1

x 2 − x1
X

x1

x2

d ( A , B ) = ( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

B

Y
7

7-3
3

A
13 - 1
X
1

13

d ( A , B ) = 12 2 + 4 2 = 144 + 16 = 160 = 4 10

Y

C

y3
y2
y1

B
A

x3 − x2

y3 − y2

y2 − y1

x2 − x1
X

x1

x2

x3

y=x
8
7
6
5
4
3
2
1
- 6-5 -4 -3 -2 -1

-1
-2
-3
-4
-5

Y

X
1 2 3 4 5 6 7 8

y=-x

Sean A y B dos puntos dados y P un punto genérico de la
recta determinada por A y B.
P
A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) P(x, y)
B
x2 − x1

A

y2 − y1

y − y1

x − x1

Por semejanza de triángulos:
y − y1 x − x1
=
Ecuación de la recta en forma continua
y2 − y1 x2 − x1
Ecuación de la recta
y2 − y1
(
)
y
−
y
=
m
x
−
x
x − x1 ⇔
y − y1 =
1
1punto-pendiente.
x −x
2

1

Sean A y B dos puntos dados y P un punto genérico de la
recta determinada por A y B.
A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )

P
B

A

x2 − x1

y2 − y1

P(x, y)

y − y1

x − x1

y − y1 x − x1
=
Por semejanza de triángulos:
y2 − y1 x2 − x1

Ecuación de la recta
en forma continua

AB = (x2 − x1 , y2 − y1 )
y − y1 x − x1
=
u2
u1

Ecuación de la recta en que pasa por
el punto
r
A y tiene ladirección del vector u (u1 , u2 )

Y
y =

5
x +2
11

y =

5
x
11

y =

5
x −3
11

X

Y

y = −

5
x
3

3
y = x
5
6

5

X
-3

10

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno
interior llamado centro; a dicha distancia se denomina radio
y
b

X
r
C

y-b

x-a

Sean ( a, b) las coordenadas del centro
y X un punto genérico de coordenadas
( x , y):
d( C , X ) = r =

a

a

(x − a)2 + ( y − b )2

x

(x − a )2 + ( y − b )2 = r 2
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

⇔

Y
X (x, y)
r
3
X
-2

( x − (− 2 ))2 + ( y − 3 )2 = 16

( x + 2 )2 + ( y − 3 )2 = 16 ⇔ x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 = 16
x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 16 − 4 − 9 ⇔

x2 + y2 + 4 x − 6 y = 3

Y

( x + 2 )2 + ( y − 3 )2 = 16
( x + 2 )2 + ( y − 3 )2 < 16
X

( x + 2 )2 + ( y − 3 )2 > 16

Y
y=x

X

Y
y=x

y=x

X

y