5.4 La matriz de tranformación lineal

Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal
Desarrollo:
Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación¨®n lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax
Sea una basede V. Entonces todo vector v en V est¨¢ determinado de manera ¨ nica por los coeficientes en: Si f : V ¡ú W es una transformación lineal,
Lo cual implica que esto completamente determinada por los valores
Ahora es una base de W. Podemos representar cada f (vj) como
Entonces la función f está enteramente determinada por los valores ai, j. Si se trata de transformaciones de generalmente se usala base can¨®nica.
Si cambiamos las bases, entonces la matriz ser¨¢ distinta, pero representar¨¢ la misma transformación
Esta transformación solo sirve en plano que sean de x,y,z para pasar a x,y
REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm está definida por Tx= Ax.
Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe unamatriz A de m x n tal que Tx= Ax para todo x € Rn. este hecho es sumamente útil. Si Tx=Ax, entonces un T= NA e imagen T=RA. Más aún, v (T) = dim un T =v(A) y ρ (T) = dim imagen T= ρ(A). Así se puede determinar núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal de Rn  Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Todavía mas, una vez que se sabe que Tx= Ax, sepuede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.
Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.
TEOREMA 1:
Sea T: Rn → Rm una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m x n, AT tal que.
Tx = AT x para toda x € Rn.
DEMOSTRACIÓN
Sea W1 = Te1, W2=Te2,…Wn = Ten. sea AT la matriz cuyas columnas son W1, W2,…, Wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn → Rm, que premultiplica un vector en Rn por AT .
Así AT ei= Wi para i=1,2,…,n.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx= AT x y que Tx= BT x para todo x € Rn. Entonces, AT x = BT x o estableciendo CT = AT - BT, se tiene que CT x =0 para todo x € Rn. Enparticular, CT ei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m- vector cero y CT=0, la matriz cero de m x n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.
OBSERVACIÓN 1: En este teorema se supone que todo vector en Rn y Rm está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y Rm, por supuesto, se obtendráuna matriz AT diferente.
OBSERVACIÓN 2: La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz cuyas columnas son vectores Tei.
DEFINICIÓN1: Matriz de transformación. La matriz AT en el teorema 1 se llama matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. Nota: La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rncomo en Rm. Si se usan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación diferente.
TEOREMA 2 Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. Entonces:
i. Imagen T= imagen A = C AT
ii. Ρ (T) = ρ (AT)
iii. Un T = N AT
iv. v (T) = v(AT)
TEOREMA 3 sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y T: V→W una transformaciónlineal. Sea B1 {v1, v2, …, vn} una base para V y bsea B2 ={w1, w2, …, wm} una base para W. entonces existe una matriz única AT de m x n tal que (Tx)B2 = AT (x)B1
TEOREMA 4 Sean Vy W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V=n. Sea T:V W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2 en W. Entonces:
i. ρ(T) = ρ (AT)
ii. v(T)...