5 caso de factorizacion

SOBRE EL QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS
¿Por qué se llama "Diferencia de Cuadrados"?

"Diferencia" se le dice a la resta. Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es unpolinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".

¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?

1) El polinomio tiene que tener 2 términos. 

2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x2 - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a6. Ya que es lo mismo que a6 - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivoy otro negativo, no importa el orden.

3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados. Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto
¿Cómo reconozco si un término es un "cuadrado"?

Recordemos que son cuadrados:

1) Los números enteros que tienen raíz cuadrada exacta. Por ejemplo: 4, 9, 16, 1, 25, 36, 64,100, etc. En particular, recordar que el número 1 es un cuadrado.
Y los número decimales cuya raíz cuadrada dé un número decimal exacto. Es decir, que al calcular su raíz en la calculadora, no se llene ésta de cifras decimales. Ejemplos de decimales que son cuadrados: 0,09; 0,01; 0,0001; 0,25; 0,64; 1,44; 0,0256; etc. 

2) Las letras elevadas a un exponente par. Por ejemplo: x2, x4, x6, x8,x10, etc.

3) Las fracciones cuyo numerador y denominador son ambos "cuadrados". Es decir, que el número de arriba tiene raíz exacta, y el de abajo también. Por ejemplo: 4/9 , 25/64, 1/4, 49/100, etc.

4) Términos que tengan varias letras y todas ellas sean potencias "pares" (exponente = 2, 4, 6, 8, etc). O sea, que cada letra sea "cuadrado", como en el punto 2). Por ejemplo: a2b2, x4y2, a6y8,a10b4c2, x8y12, etc.

5) Términos que tengan un número y una o más letras, siempre que el número tenga raíz exacta y las letras sean potencias pares (como en los puntos 1) y 2)). Por ejemplo: 9x2, 100a4b6, 25x8y2, 64a6x12y2, etc. El número puede ser una fracción, y debe ser cuadrado por supuesto (ver punto 3)). Por ejemplo: 1/9 x4, 9/25 y2b8, etc. O también un número decimal, que cumpla con lodice el punto 1). Por ejemplo: 0,04 x2; 0,0009 x6y2, etc.

¿Cómo se factoriza una Diferencia de Cuadrados?

Identifico las bases y el resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:

a2 - b2 = (a + b).(a - b)

Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en lapregunta anterior. Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son: 25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)


¿Por qué se factoriza de esa manera? 

Como en toda factorización, buscamos transformar el polinomio en una multiplicación. Y resulta que una resta de dos cuadrados, proviene siempre de unamultiplicación entre una suma y una resta de sus bases. Entonces, aprovechamos esa propiedad, para escribir nuestra resta de dos cuadrados, como una multiplicación.
 
(a + b).(a - b) siempre dá una resta del cuadrado de a y el cuadrado de b. Cualesquiera sean a y b. Y por eso existe la siguiente fórmula:

(a + b).(a - b) = a2 - b2 

Eso quiere decir que, siempre que multiplique la suma de dostérminos cualesquiera, por la resta de ESOS MISMOS TÉRMINOS, el resultado es: "El cuadrado de uno de los términos, menos el cuadrado del otro término". En esta fórmula es en la que este Quinto Caso se basa.

Si (a + b).(a - b) = a2 - b2, podemos decir también que a2 - b2 es igual a (a + b).(a - b), que es lo mismo pero visto al revés (recíproco). Cuando decidimos factorizar un polinomio con este...