5 matrices

Cap´ıtulo

11

Matrices o arreglos bidimensionales
11.1. Conceptos y notaci´
on
Una matriz es un arreglo rectangular de objetos, los cuales generalmente son n´
umeros,
caracteres, valores booleanos, y cualesquiera otro tipo de elementos que pertenecen a un
mismo conjunto.
Ejemplo. La siguiente estructura rectangular de n´
umeros enteros denotada por la expresi´on X es una matriz


1 3
7 −2 8
64
X = 9 11 5
6 −2 −1 1 1
En general, una matriz X se puede representar de la siguiente manera


x11
x12
x13
···
x1(m−1)
x1m
 x21
x22
x23
···
x2(m−1)
x2m 


 ..

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
X= .

.
.
.
.
.


x(n−1)1 x(n−1)2 x(n−1)3 · · · x(n−1)(m−1) x(n−1)m 
xn1
xn2
xn3
···
xn(m−1)
xnm
donde la matriz est´a compuesta por n filas y m columnas, a esta matriz se le dice que es
de tama˜
no n ×m.



x11 x12 · · · x1m
 x21 x22 · · · x2m 


X =  ..
..
..  n
...
 .
.
. 
xn1 xn2 · · · xnm
m
Ejemplo. La siguiente matriz es una matriz de tama˜
no 4 × 5
163

164

CAP´ITULO 11. MATRICES O ARREGLOS BIDIMENSIONALES


0
0
X=
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0


0
0

0
0

A los objetos de la matriz se les llaman componentes o entradas de la matriz, y para
referirse a una componenteen particular, a ´esta se le dice que es la componente en la
posici´on (i, j), esto significa que el objeto es la componente ubicada en la fila i y en el
columna j, se denota por la expresi´on Xij y se puede ubicar dentro de la matriz como se
muestra a continuaci´on

columna j


x11 · · ·
 ..
..
 .
.

 xi1 · · ·

 ..
..
 .
.
xn1 · · ·

fila i

xij
..
.

···
..
.
···
..
.

xnj

···

x1j
...


x1m
.. 
. 

xim 

.. 
. 
xnm

Ejemplo. Para la matriz

3
2
−1
−0.25
e
4
√
 −1
2 4 √
0.0
6
5


X=
1

3
3
3.14
π
2
√
3
5 −10 0 −5 0.9


de tama˜
no 4 × 5 se tiene que sus componentes son:

• X12 = −1.

• X21 = − 51 .
√
• X22 = 2.

• X13 = 43 .

• X23 = 4.

• X14 = −0.25.

• X24 = 0.0.

• X33 = 12 .
√
• X34 = 3.

• X15 = e.

• X25 = 6.

• X35 = 3.

• X11 = 2.

√
3
5.

• X31 =3.14.

• X41 =

• X32 = π.

• X42 = −10.
• X43 = 0.

• X45 = 0.9.

• X44 = −5.

Cuando en una matriz se tiene que el n´
umero de filas es igual al n´
umero de columnas
se dice que la matriz es cuadrada.
Ejemplo. La siguiente matriz de tama˜
no 2 × 2, es una matriz cuadrada cuyas entradas
son valores del conjunto booleano (B)
X=

V F
F V

165

11.2. DEFINICIONES ALTERNATIVAS

Ejemplo. La siguientematriz de tama˜
no 4 × 4, es una matriz cuadrada cuyas entradas
son n´
umeros reales, se le conoce como la matriz identidad de tama˜
no 4 × 4 y se denota
por la expresi´on I4


1 0 0 0
0 1 0 0

I4 = 
0 0 1 0
0 0 0 1

11.2. Definiciones alternativas
Una forma de entender la estructura interna de una matriz distinta a la definida previamente, es la de interpretarla como un arreglo de arreglos,esto es, verla como un arreglo
cuyas componentes son a su vez otros arreglos; como se explica a continuaci´on:
i) Definici´
on de matrices por vectores fila
Una matriz puede verse como un vector columna cuyas componentes son vectores
fila, as´ı una matriz es un vector de tama˜
no n × 1 cuyas componentes son vectores de
tama˜
no 1 × m.


x
x
x11 x12 · · · x1m
 11 12
.
.
.
.

 .
..
..
.. 

 .


n  xi1 xi2 · · · xim  = 
 xi1 xi2

 .

.
.
.

..
..
.. 
 ..

xn1 xn2 · · · xnm
xn1 xn2




···

x1m

..
.
···

xim

···

xnm

..
.






 n




m
1
ii) Definici´
on de matrices por vectores columna
Una matriz puede verse como un vector fila cuyas componentes son vectores columna,
as´ı una matriz es un vector de tama˜
no 1 × m cuyas componentes son vectores de
tama˜
no n ×1.


x11 · · · x1j
 x21 · · · x2j
n 
 ..
..
..
 .
.
.
xn1 · · · xnj

 
· · · x1m
x
 11 

· · · x2m 
 =  x21 
..  · · ·
.
..

.. 

.
 . 
xn1
· · · xnm


m





x1j
 x2j 
 
 ..  · · ·
 . 
xnj


x1m
 x2m 


1
 .. 
 . 

xnm


m

11.2.1. El conjunto de las matrices
En el cap´ıtulo 10 sobre arreglos, se defini´o un arreglo a partir del producto...